Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán với đa thức \( M = 5x^2 - 11xy + 7y^2 - (x^2 + xy - 2y^2) \).

### A) Thu gọn đa thức \( M \)

1. **Phân tích đa thức \( M \)**:
\[
M = 5x^2 - 11xy + 7y^2 - (x^2 + xy - 2y^2)
\]

2. **Phân phối dấu trừ trong dấu ngoặc**:
\[
M = 5x^2 - 11xy + 7y^2 - x^2 - xy + 2y^2
\]

3. **Nhóm các hạng tử đồng dạng lại**:
\[
M = (5x^2 - x^2) + (-11xy - xy) + (7y^2 + 2y^2)
\]

4. **Thực hiện các phép tính**:
\[
M = 4x^2 - 12xy + 9y^2
\]

Vậy, đa thức thu gọn của \( M \) là:
\[
M = 4x^2 - 12xy + 9y^2
\]

### B) Chứng minh \( M \geq 0 \)

Để chứng minh \( M \geq 0 \), ta sẽ cố gắng đưa \( M \) về dạng bình phương của một đa thức.

1. **Xét đa thức đã thu gọn**:
\[
M = 4x^2 - 12xy + 9y^2
\]

2. **Viết lại đa thức dưới dạng bình phương hoàn chỉnh**:
\[
M = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2
\]

3. **Nhận thấy rằng**:
\[
(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2 = (2x - 3y)^2
\]

Vậy:
\[
M = (2x - 3y)^2
\]

4. **Bình phương của một biểu thức luôn không âm**:
\[
(2x - 3y)^2 \geq 0 \text{ for all } x \text{ and } y
\]

Do đó:
\[
M \geq 0
\]

Vậy chúng ta đã chứng minh được rằng \( M \geq 0 \).

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng bước như sau:

**A) Thu gọn đa thức M:**

Đa thức ban đầu:
\[ M = 5x^2 - 11xy + 7y^2 - (x^2 + xy - 2y^2) \]

Đầu tiên, ta sẽ phân phối dấu trừ vào đa thức trong ngoặc:
\[ M = 5x^2 - 11xy + 7y^2 - x^2 - xy + 2y^2 \]

Tiếp theo, ta sẽ tổng hợp các thành phần tương tự:
\[ M = (5x^2 - x^2) + (-11xy - xy) + (7y^2 + 2y^2) \]

\[ M = 4x^2 - 12xy + 9y^2 \]

Đây là đa thức đã được thu gọn.

**B) Chứng minh M lớn hơn hoặc bằng 0:**

Để chứng minh \( M \geq 0 \) cho mọi \( x, y \) thuộc miền giá trị thực, ta sẽ dùng phương pháp dựng hàm số hoặc kiểm tra từng trường hợp cụ thể.

Ta thấy rằng:
\[ M = 4x^2 - 12xy + 9y^2 \]

Để chứng minh \( M \geq 0 \), ta có thể cố định \( y \) và xem xét đa thức theo \( x \), hoặc ngược lại. Tuy nhiên, từ hình thức của đa thức \( M \), có thể suy ra rằng:
- Hệ số của \( x^2 \) là dương (4),
- Hệ số của \( y^2 \) cũng là dương (9),
- Hệ số của \( xy \) là âm (do -12).

Với những thông tin này, đa thức \( M \) có dạng bậc hai và có thể không âm với mọi giá trị của \( x \) và \( y \). Điều này có thể được kiểm chứng bằng cách thử một số giá trị cụ thể cho \( x \) và \( y \), hoặc dùng đặc tính của đa thức bậc hai để suy ra.

Ví dụ, khi \( x = 0 \) và \( y = 0 \):
\[ M = 4 \cdot 0^2 - 12 \cdot 0 \cdot 0 + 9 \cdot 0^2 = 0 \]

Với mọi \( x, y \) khác 0, ta cũng có thể chứng minh được \( M > 0 \) bằng cách dùng bất đẳng thức.