Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I, K là một điểm nằm bất kì trên đoạn thẳng CI (K khác C và I) tia AK cắt nửa đường tròn O tại M tia BM cắt tia CI tại D.

Chứng minh :

a) Các tứ giác ACMD, BCKM nội tiếp đường tròn

b) CK.CD=CA.CB

c) Gọi N là giao điểm của AD và đường tròn O chứng minh B, K, N thẳng hàng

d) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố định khi K di động trên đoạn thẳng CI

Cho đường trong (O, R) và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA  kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.

    1) Chứng minh rằng các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn.

    2) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.

    3) Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất. 

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

1, Chứng minh tứ giác BDHF là tứ giác nội tiếp

2, Chứng minh tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp

3, Tìm thêm các tứ giác nội tiếp

4, Chứng minh FC là phân giác của góc DFE

5, Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp Δ DEF

6, Lấy K đối xứng với H qua BC. Chứng minh K thuộc đường tròn tâm O

7, Chứng minh OA vuông góc với FE

Cho hình vuông MNPQ có cạnh là 4cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông?
 

Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB.  Trên cùng một nửa mp bờ AB vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy một điểm I, tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K . Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P.

1) Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp đường tròn. 

2) Chứng minh rằng AI.BK = AC.BC.

Cho (O; 1 cm) và dây AB = 1cm. Khoảng cách từ tâm O đến AB?