Để giải phương trình bậc ba $x^3 + 9x - 54 = 0$, ta có thể thử sử dụng phương pháp tìm nghiệm bằng cách thay các giá trị cho $x$ cho đến khi tìm ra nghiệm.

Đầu tiên, ta thử lần lượt các số nguyên để tìm nghiệm.

1. Thử $x = 2$:

$2^3 + 9 \cdot 2 - 54 = 8 + 18 - 54 = -28 \quad (\text{k không phải là nghiệm})$

2. Thử $x = 3$:

$3^3 + 9 \cdot 3 - 54 = 27 + 27 - 54 = 0 \quad (\text{k là nghiệm})$

Như vậy, $x = 3$ là một nghiệm của phương trình.

Tiếp theo, ta đã tìm được một nghiệm, ta có thể phân tích tiếp phương trình $x^3 + 9x - 54$ theo hình thức $(x - 3)(Ax^2 + Bx + C)$ với $A, B, C$ cần tìm.

Áp dụng phép chia đa thức:

Chia $x^3 + 9x - 54$ cho $x - 3$:

1. Chia $x^3$ cho $x$ được $x^2$.
2. Nhân $x^2$ với $x - 3$ được $x^3 - 3x^2$.
3. Trừ đi: $(x^3 + 9x - 54) - (x^3 - 3x^2) = 3x^2 + 9x - 54$.
4. Chia $3x^2$ cho $x$ được $3x$.
5. Nhân $3x$ với $x - 3$ được $3x^2 - 9x$.
6. Trừ đi: $(3x^2 + 9x - 54) - (3x^2 - 9x) = 18x - 54$.
7. Chia $18x$ cho $x$ được $18$.
8. Nhân $18$ với $x - 3$ được $18x - 54$.
9. Trừ đi: $(18x - 54) - (18x - 54) = 0$.

Như vậy, ta có thể viết:

$x^3 + 9x - 54 = (x - 3)(x^2 + 3x + 18)$

Tiếp theo, ta giải phương trình $x^2 + 3x + 18 = 0$. Tính Δ để xác định nghiệm:

$Δ = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 9 - 72 = -63$

Vì $Δ < 0$, phương trình này không có nghiệm thực. Vậy chỉ có một nghiệm thực là:

$x = 3$

Kết luận: Phương trình $x^3 + 9x - 54 = 0$ có nghiệm duy nhất là $x = 3$.