Để giải phương trình bậc ba \( x^3 + 9x - 54 = 0 \), ta có thể thử sử dụng phương pháp tìm nghiệm bằng cách thay các giá trị cho \( x \) cho đến khi tìm ra nghiệm.

Đầu tiên, ta thử lần lượt các số nguyên để tìm nghiệm.

1. Thử \( x = 2 \):

\[
2^3 + 9 \cdot 2 - 54 = 8 + 18 - 54 = -28 \quad (\text{k không phải là nghiệm})
\]

2. Thử \( x = 3 \):

\[
3^3 + 9 \cdot 3 - 54 = 27 + 27 - 54 = 0 \quad (\text{k là nghiệm})
\]

Như vậy, \( x = 3 \) là một nghiệm của phương trình.

Tiếp theo, ta đã tìm được một nghiệm, ta có thể phân tích tiếp phương trình \( x^3 + 9x - 54 \) theo hình thức \( (x - 3)(Ax^2 + Bx + C) \) với \( A, B, C \) cần tìm.

Áp dụng phép chia đa thức:

Chia \( x^3 + 9x - 54 \) cho \( x - 3 \):

1. Chia \( x^3 \) cho \( x \) được \( x^2 \).
2. Nhân \( x^2 \) với \( x - 3 \) được \( x^3 - 3x^2 \).
3. Trừ đi: \( (x^3 + 9x - 54) - (x^3 - 3x^2) = 3x^2 + 9x - 54 \).
4. Chia \( 3x^2 \) cho \( x \) được \( 3x \).
5. Nhân \( 3x \) với \( x - 3 \) được \( 3x^2 - 9x \).
6. Trừ đi: \( (3x^2 + 9x - 54) - (3x^2 - 9x) = 18x - 54 \).
7. Chia \( 18x \) cho \( x \) được \( 18 \).
8. Nhân \( 18 \) với \( x - 3 \) được \( 18x - 54 \).
9. Trừ đi: \( (18x - 54) - (18x - 54) = 0 \).

Như vậy, ta có thể viết:

\[
x^3 + 9x - 54 = (x - 3)(x^2 + 3x + 18)
\]

Tiếp theo, ta giải phương trình \( x^2 + 3x + 18 = 0 \). Tính Δ để xác định nghiệm:

\[
Δ = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 9 - 72 = -63
\]

Vì \( Δ < 0 \), phương trình này không có nghiệm thực. Vậy chỉ có một nghiệm thực là:

\[
x = 3
\]

Kết luận: Phương trình \( x^3 + 9x - 54 = 0 \) có nghiệm duy nhất là \( x = 3 \).