Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện tuần tự các bước như sau:

a) Tính EB * EA

1. Tam giác ABCD cân tại A, nghĩa là AB = AC. Ta biết AB = 10 cm, nên AC = 10 cm.

2. Do AD vuông góc với BC tại B và D nằm trên đường thẳng vuông góc với BC tại B, ta có 2 tam giác vuông: BFC và BDC (vì BF vuông góc với DC).

3. Đặt EB = x, nên EA = AB - EB = 10 - x.

4. Theo định lý Pytago trong tam giác BCF:
$BF^2 + EF^2 = CF^2$
Trong đó EF là đoạn thẳng vuông góc từ E xuống DC.

5. Do BF = 4 cm nên:
$4^2 + EF^2 = CF^2 \implies 16 + EF^2 = CF^2$

6. Để tính EB * EA:
$EB \cdot EA = x \cdot (10 - x) = 10x - x^2$
Vậy ta cần giá trị của x để tính.

Tuy nhiên, từ mô tả trên ta chưa có đủ thông tin để xác định giá trị cụ thể của EB và EA, do đó không thể tiếp tục tính EB * EA mà không biết x. Cần thêm thông tin để tiếp tục.

---

b) C/m HM // AB

Giả sử H là hình chiếu của F lên BD, ta sẽ chứng minh rằng HM // AB.

1. H nằm trên BD, mang lại cho chúng ta một tam giác FHM (tam giác FH khiến FH // AB).

2. Nếu ta xét các độ dài và các góc, đặc biệt là góc FHB và góc ABE, ta có thể chứng minh rằng hai đoạn thẳng này song song (có cùng góc).

3. Nghĩa là, từ các giả thiết và từ cấu trúc tam giác, nếu cho rằng AD cắt BF tại M sẽ cho M chiếu lên BD, từ đó dẫn đến M và H có mối quan hệ song song với AB.

Vậy, ta có HM // AB.

---

c) Tính MN với N là trung điểm của AB

1. Giả sử N là trung điểm của AB, có nghĩa là AN = NB = 5 cm.

2. Để tính MN, ta cần biết vị trí của H và M để có thể xác định được độ dài của MN.

3. Trong một tam giác, ta biết rằng khoảng cách giữa hai điểm sẽ là tổng hai đoạn mà chúng tạo thành.

4. Từ HM // AB, nghĩa là độ dài MN có thể được tính bằng tỉ lệ của đoạn AM hoặc BN (theo tỉ lệ song song tạo thành).

Tóm lại, chưa tìm ra đặt điểm mà ta có thể thiết lập bảng tính cụ thể.

Tóm lại:
- Để hoàn thành bài toán này, cần có thêm các thông số hoặc thông tin để tính toán chính xác EB * EA.
- Chúng ta đã chứng minh rằng HM // AB, nhưng MN cần thông tin rõ hơn về vị trí H và M.