Chào bạn, đây là lời giải chi tiết cho bài toán của bạn:

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường cao AD của tam giác ABC và đường kính AE của đường tròn (O). Gọi F là chân đường vuông góc kẻ từ B đến AE. Chứng minh:

a) Chứng minh tứ giác ABDF nội tiếp:

Ta có:
Góc BDA = 90° (AD là đường cao)
Góc BFA = 90° (BF ⊥ AE)
Suy ra góc BDA + góc BFA = 90° + 90° = 180°
Vậy tứ giác ABDF nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°)
b) Chứng minh AB.AC = AD.AE:

Xét tam giác ABD và tam giác AEC, ta có:
Góc ADB = góc ACE = 90° (AD là đường cao, AE là đường kính)
Góc BAD = góc CAE (cùng chắn cung BC)
Suy ra tam giác ABD đồng dạng tam giác AEC (g.g)
Do đó, AB / AE = AD / AC => AB.AC = AD.AE
c) Chứng minh DF vuông góc với AC:

Gọi giao điểm của DF và AC là I.
Vì tứ giác ABDF nội tiếp (cmt), nên góc AFD = góc ABD (cùng chắn cung AD).
Vì góc ABD = 90° - góc BAC (tam giác ABD vuông tại D)
Vì góc ACE = 90° - góc BAC (tam giác ACE vuông tại C)
Suy ra góc ABD = góc ACE.
Mà góc AFD = góc ABD (cmt), nên góc AFD = góc ACE.
Xét tam giác AIF và tam giác CID, ta có:
Góc AFI = góc ICD (cmt)
Góc AIF = góc CID (đối đỉnh)
Suy ra tam giác AIF đồng dạng tam giác CID (g.g)
Do đó, góc AIF = góc IDC = 90°
Vậy DF vuông góc với AC.

âu a: Chứng minh tứ giác ABDF nội tiếp
Xét tứ giác ABDF, ta cần chứng minh rằng nó có một góc đối nhau có tổng bằng 180∘180^\circ180∘.
Ta biết rằng AD là đường cao của tam giác ABC, do đó AD ⊥ BC.
F là chân đường vuông góc từ B xuống AE, nên BF ⊥ AE.
Vì AE là đường kính của đường tròn (O), nên góc ABE = 90^\circ (theo tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Do đó, ta có: ∠ABF+∠ADF=90∘+90∘=180∘\angle ABF + \angle ADF = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ∠ABF+∠ADF=90∘+90∘=180∘
Suy ra tứ giác ABDF nội tiếp.

Câu b: Chứng minh AB.AC = AD.AE
Do AE là đường kính, nên \angle ABE = 90^\circ.
Xét hai tam giác ABE và ADE, ta có:

Chúng có góc chung là \angle ABE.
AD là đường cao, AE là đường kính.
Hai tam giác này đồng dạng theo tiêu chí góc - góc (AA).
Áp dụng tính chất đồng dạng:

ABAD=AEAC\frac{AB}{AD} = \frac{AE}{AC}ADAB​=ACAE​ ⇒AB⋅AC=AD⋅AE\Rightarrow AB \cdot AC = AD \cdot AE⇒AB⋅AC=AD⋅AE

Câu c: Chứng minh DF ⊥ AC
Xét hai tam giác ADF và AFC, ta có:

AD ⊥ BC (do AD là đường cao).
BF ⊥ AE (do F là chân đường vuông góc từ B đến AE).
AE là đường kính của đường tròn.
Ta đã chứng minh tứ giác ABDF nội tiếp. Do đó,

∠ADF=∠ABF\angle ADF = \angle ABF∠ADF=∠ABF
Nhưng \angle ABF = 90^\circ (do B là chân đường vuông góc từ B đến AE), suy ra:

DF⊥ACDF ⊥ ACDF⊥AC

Kết luận
Ba phần đã được chứng minh theo đúng yêu cầu của bài toán

Giải hơi logic + k có dấu trong toán học nê hơi khó xl nhiều !