Để tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện ABCD có điểm A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) và D(-2,1,-1), ta sẽ sử dụng các bước sau đây:

1.Xác định mặt phẳng chứa tam giác ABC:
- Ba điểm A, B, C sẽ tạo thành một mặt phẳng. Đầu tiên, ta sẽ tìm hai vector nằm trong mặt phẳng này.

$\mathbf{AB} = B - A = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)$
$\mathbf{AC} = C - A = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)$

2.Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng ABC:
- Vector pháp tuyến $\mathbf{n}$ được tính bằng tích có hướng giữa hai vector trên.

$\mathbf{n} = \mathbf{AB} \times \mathbf{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

Tính toán:

$\mathbf{n} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) \mathbf{i} - (-1 \cdot 1 - 0 \cdot -1) \mathbf{j} + (-1 \cdot 0 - (-1) \cdot 1) \mathbf{k}$
$\mathbf{n} = (1) \mathbf{i} - (1) \mathbf{j} + (1) \mathbf{k} = (1, -1, 1)$

3. Viết phương trình mặt phẳng ABC:
- Phương trình mặt phẳng có vector pháp tuyến $(a, b, c) = (1, -1, 1)$ và đi qua điểm A(1, 0, 0) sẽ là:

$1(x - 1) - 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0$
$x - y + z - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x - y + z = 1$

4. Tìm chân đường cao từ D đến mặt phẳng ABC:
- Tọa độ điểm D là D(-2, 1, -1). Để tìm chân đường cao hạ từ D xuống mặt phẳng, ta cần tìm điểm P(x, y, z) thuộc mặt phẳng $x - y + z = 1$ và nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đi qua D.

- Phương trình đường thẳng qua điểm D với hướng là vector pháp tuyến $(1, -1, 1)$:

$\begin{cases} x = -2 + t \\ y = 1 - t \\ z = -1 + t \\ \end{cases}$

5. Thay vào phương trình mặt phẳng:

Thay các biểu thức vào phương trình mặt phẳng:

$(-2 + t) - (1 - t) + (-1 + t) = 1$
$-2 + t - 1 + t - 1 + t = 1$
$3t - 4 = 1 \quad \Rightarrow \quad 3t = 5 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{5}{3}$

6. Tính tọa độ chân đường cao:

Thay giá trị $t$ vào hệ phương trình đường thẳng:

$x = -2 + \frac{5}{3} = -2 + 1.67 \approx -0.33$
$y = 1 - \frac{5}{3} = 1 - 1.67 \approx -0.67$
$z = -1 + \frac{5}{3} = -1 + 1.67 \approx 0.67$

Vậy tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện là khoảng:

$P \left(-\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$

Để tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện ABCD, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm phương trình mặt phẳng (ABC):

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là tích có hướng của hai vectơ AB và AC.
Vectơ AB = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)
Vectơ AC = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)
Tích có hướng của AB và AC là:n = [AB, AC] = (1, 1, 1)
Phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng:1(x-1) + 1(y-0) + 1(z-0) = 0
x + y + z - 1 = 0
2. Tìm phương trình đường thẳng DH vuông góc với mặt phẳng (ABC):

Đường thẳng DH đi qua điểm D(-2, 1, -1) và có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC), tức là u = (1, 1, 1).
Phương trình tham số của đường thẳng DH:x = -2 + t
y = 1 + t
z = -1 + t
3. Tìm tọa độ điểm H là giao điểm của đường thẳng DH và mặt phẳng (ABC):

Thay phương trình tham số của đường thẳng DH vào phương trình mặt phẳng (ABC):(-2 + t) + (1 + t) + (-1 + t) - 1 = 0
3t - 3 = 0
t = 1
Thay t = 1 vào phương trình tham số của đường thẳng DH:x = -2 + 1 = -1
y = 1 + 1 = 2
z = -1 + 1 = 0
Vậy tọa độ điểm H là (-1, 2, 0).
Kết luận:

Tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện ABCD là H(-1, 2, 0).