Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

**1. Xác định các yếu tố hình học:**

* ABC.A'B'C' là lăng trụ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a.
* Hình chiếu vuông góc của B' lên (ABC) là trọng tâm G của tam giác ABC.
* \( \angle (B'B, (ABC)) = 60^\circ \).
* Tính sin của góc giữa AB và (BCC'B').

**2. Tính độ dài BB':**

* Vì G là hình chiếu vuông góc của B' lên (ABC), ta có B'G ⊥ (ABC). Do đó, \( \angle B'BG = 60^\circ \).
* Trong tam giác đều ABC, BG = \(\frac{2}{3}\) trung tuyến = \(\frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}\).
* Trong tam giác vuông B'BG, BB' = \(\frac{BG}{\cos(\angle B'BG)} = \frac{a\sqrt{3}/3}{\cos(60^\circ)} = \frac{a\sqrt{3}/3}{1/2} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}\).

**3. Tính khoảng cách từ A đến (BCC'B'):**

* Gọi H là hình chiếu của A lên (BCC'B'). Khoảng cách từ A đến (BCC'B') là AH.
* Ta có: d(A, (BCC'B')) = d(A, (B'BCC')) = \(\frac{2}{3}\)d(A, (BB'C)) = \(\frac{2}{3}\)AK với AK là đường cao trong tam giác ABC.
* AK = \(a\frac{\sqrt{3}}{2}\). Do đó, d(A, (BCC'B')) = \(a\frac{\sqrt{3}}{3}\).
* Ngoài ra, \( AB = a \).

**4. Tính sin của góc giữa AB và (BCC'B'):**

* Gọi \( \alpha \) là góc giữa AB và (BCC'B').
* Ta có: \( \sin(\alpha) = \frac{d(A, (BCC'B'))}{AB} = \frac{a\sqrt{3}/3}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

**5. So sánh với dạng \( \frac{a}{\sqrt{b}} \):**

* \( \sin(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
* Ở đây, a = 1 (là số nguyên tố) và b = 3.

**6. Tính a + b:**

* a + b = 1 + 3 = 4.

**Kết luận:** Tổng a + b là 4.