Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

**1. Xác định các yếu tố hình học:**

* ABC.A'B'C' là lăng trụ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a.
* Hình chiếu vuông góc của B' lên (ABC) là trọng tâm G của tam giác ABC.
* $\angle (B'B, (ABC)) = 60^\circ$.
* Tính sin của góc giữa AB và (BCC'B').

**2. Tính độ dài BB':**

* Vì G là hình chiếu vuông góc của B' lên (ABC), ta có B'G ⊥ (ABC). Do đó, $\angle B'BG = 60^\circ$.
* Trong tam giác đều ABC, BG = $\frac{2}{3}$ trung tuyến = $\frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.
* Trong tam giác vuông B'BG, BB' = $\frac{BG}{\cos(\angle B'BG)} = \frac{a\sqrt{3}/3}{\cos(60^\circ)} = \frac{a\sqrt{3}/3}{1/2} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$.

**3. Tính khoảng cách từ A đến (BCC'B'):**

* Gọi H là hình chiếu của A lên (BCC'B'). Khoảng cách từ A đến (BCC'B') là AH.
* Ta có: d(A, (BCC'B')) = d(A, (B'BCC')) = $\frac{2}{3}$d(A, (BB'C)) = $\frac{2}{3}$AK với AK là đường cao trong tam giác ABC.
* AK = $a\frac{\sqrt{3}}{2}$. Do đó, d(A, (BCC'B')) = $a\frac{\sqrt{3}}{3}$.
* Ngoài ra, $AB = a$.

**4. Tính sin của góc giữa AB và (BCC'B'):**

* Gọi $\alpha$ là góc giữa AB và (BCC'B').
* Ta có: $\sin(\alpha) = \frac{d(A, (BCC'B'))}{AB} = \frac{a\sqrt{3}/3}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

**5. So sánh với dạng $\frac{a}{\sqrt{b}}$:**

* $\sin(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
* Ở đây, a = 1 (là số nguyên tố) và b = 3.

**6. Tính a + b:**

* a + b = 1 + 3 = 4.

**Kết luận:** Tổng a + b là 4.