### Bài 1:
Chúng ta cần chứng minh rằng 4 điểm A,H,E,DA,H,E,D là đồng phẳng.

Xét tam giác ABCABC có các đường cao BDBD và CFCF cắt nhau tại HH. Ta biết rằng HH là trực tâm của tam giác ABCABC.

- EE là giao điểm của ADAD với BCBC.

Để chứng minh rằng 4 điểm A,H,E,DA,H,E,D đồng phẳng, ta nhận thấy rằng A,H,DA,H,D là các điểm thuộc tam giác ABCABC. Vì HH là trực tâm, ADAD là đường cao nên điểm EE cũng nằm trên mặt phẳng này.

Vậy, 4 điểm A,H,E,DA,H,E,D là đồng phẳng.

### Bài 2:
Giả sử MM là trung điểm của BCBC.

- Xét tam giác MDCMDC và tam giác ACBACB:
+ MM là trung điểm của BCBC nên MB=MCMB=MC.
+ Trong tam giác ACBACB, ta có ∠ACB∠ACB.
+ Ta cần chứng minh rằng ∠MDC=∠ACB∠MDC=∠ACB.

Do MB=MCMB=MC và góc tại MM được tạo bởi 2 đoạn thẳng MBMB và MCMC, điều này cho thấy MDCMDC và ACBACB là các tam giác cân.

Vậy, ∠MDC=∠ACB∠MDC=∠ACB.

Để chứng minh rằng NDND là tiếp tuyến của đường tròn đi qua 4 điểm A,F,H,DA,F,H,D, ta cần chỉ ra rằng NDND vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc, trong trường hợp này là HH. Bởi vì HH là trực tâm và NDND là đường cao của tam giác vuông cân, NDND cũng chính là tiếp tuyến.

### Bài 3:
Xét các đường thẳng vuông góc với EDED tại EE và DD tương ứng cắt BCBC tại KK và GG.

- BKBK và CGCG là các đoạn thẳng vuông góc với EDED tại các điểm KK và GG.

Do MM là trung điểm của BCBC và các đoạn thẳng BKBK và CGCG được tạo ra từ các điểm EE và DD, những điểm này chia đều đoạn thẳng BCBC.

Vậy, BK=CGBK=CG.

### Bài 1:
Chúng ta cần chứng minh rằng 4 điểm \( A, H, E, D \) là đồng phẳng.

Xét tam giác \( ABC \) có các đường cao \( BD \) và \( CF \) cắt nhau tại \( H \). Ta biết rằng \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \).

- \( E \) là giao điểm của \( AD \) với \( BC \).

Để chứng minh rằng 4 điểm \( A, H, E, D \) đồng phẳng, ta nhận thấy rằng \( A, H, D \) là các điểm thuộc tam giác \( ABC \). Vì \( H \) là trực tâm, \( AD \) là đường cao nên điểm \( E \) cũng nằm trên mặt phẳng này.

Vậy, 4 điểm \( A, H, E, D \) là đồng phẳng.

### Bài 2:
Giả sử \( M \) là trung điểm của \( BC \).

- Xét tam giác \( MDC \) và tam giác \( ACB \):
+ \( M \) là trung điểm của \( BC \) nên \( MB = MC \).
+ Trong tam giác \( ACB \), ta có \( \angle ACB \).
+ Ta cần chứng minh rằng \( \angle MDC = \angle ACB \).

Do \( MB = MC \) và góc tại \( M \) được tạo bởi 2 đoạn thẳng \( MB \) và \( MC \), điều này cho thấy \( MDC \) và \( ACB \) là các tam giác cân.

Vậy, \( \angle MDC = \angle ACB \).

Để chứng minh rằng \( ND \) là tiếp tuyến của đường tròn đi qua 4 điểm \( A, F, H, D \), ta cần chỉ ra rằng \( ND \) vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc, trong trường hợp này là \( H \). Bởi vì \( H \) là trực tâm và \( ND \) là đường cao của tam giác vuông cân, \( ND \) cũng chính là tiếp tuyến.

### Bài 3:
Xét các đường thẳng vuông góc với \( ED \) tại \( E \) và \( D \) tương ứng cắt \( BC \) tại \( K \) và \( G \).

- \( BK \) và \( CG \) là các đoạn thẳng vuông góc với \( ED \) tại các điểm \( K \) và \( G \).

Do \( M \) là trung điểm của \( BC \) và các đoạn thẳng \( BK \) và \( CG \) được tạo ra từ các điểm \( E \) và \( D \), những điểm này chia đều đoạn thẳng \( BC \).

Vậy, \( BK = CG \).