b) Chứng minh \( AM \cdot AN = AH \cdot AO \) và \( \angle AMH = \angle AOH \)

- Theo định lý về cát tuyến và tiếp tuyến, chúng ta có:
\[
AM \cdot AN = AB^2
\]
Vì \( AB \) là tiếp tuyến với đường tròn tại điểm B, nên \( AB^2 = AO \cdot AH \) (theo định lý tiếp tuyến - cát tuyến).

- Do đó, từ mối quan hệ trên:
\[
AM \cdot AN = AB^2 = AO \cdot AH
\]

- Theo định lý góc giữa tiếp tuyến và dây cung, ta có:
\[
\angle AMH = \angle AOH
\]
Vì \( H \) là giao điểm của \( BC \) với \( AO \), và chúng ta có mối quan hệ này do tính chất của cát tuyến và tiếp tuyến đối với đường tròn.

 c) Chứng minh \( ONMH \) nội tiếp và \( HB \) là tia phân giác của góc \( MHN \)

- Xét các góc trong tứ giác \( ONMH \):
- Góc \( \angle ONM = \angle OHM \) (do tính chất của các góc giữa tiếp tuyến và dây cung).
- Góc \( \angle OMN = \angle OHN \) (do tính chất của các góc giữa tiếp tuyến và dây cung).

Do đó, ta có:
\[
\angle ONM + \angle OMN = 180^\circ
\]
Điều này chứng minh rằng tứ giác \( ONMH \) là tứ giác nội tiếp.

- Vì \( H \) là giao điểm của \( BC \) với \( AO \), và theo tính chất của các tiếp tuyến và cát tuyến, ta có mối quan hệ đối xứng giữa các góc tại \( H \).

- Cụ thể, góc \( \angle MHN \) sẽ được chia đều bởi tia \( HB \), do đó \( HB \) là tia phân giác của góc \( MHN \).

Kết luận, \( HB \) là tia phân giác của góc \( MHN \), và tứ giác \( ONMH \) là tứ giác nội tiếp.

b)

Xét tam giác ABM và tam giác ANB, ta có:Góc A chung.
Góc ABM = góc ANB (cùng chắn cung MB).
Do đó, tam giác ABM đồng dạng với tam giác ANB (g.g).
Suy ra: AM/AB = AB/AN => AM.AN = AB^2 (1)
Xét tam giác ABO vuông tại B (AB là tiếp tuyến), BH là đường cao, ta có:AB^2 = AH.AO (hệ thức lượng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AM.AN = AH.AO
Chứng minh ΔAMH đồng dạng ΔAON:

Ta có: AM.AN = AH.AO (cmt) => AM/AO = AH/AN
Xét tam giác AMH và tam giác AON, ta có:Góc A chung
AM/AO = AH/AN (cmt)
Do đó, tam giác AMH đồng dạng với tam giác AON (c.g.c).
c)Vì ΔAMH đồng dạng ΔAON (cmt) => góc AHM = góc ANO
Mà góc AHM và góc ANO là hai góc ở vị trí đồng vị.
Suy ra MH // ON.
Ta có: góc OMH + góc MHO = 180° (hai góc trong cùng phía)
Mà góc MHO = góc OHN (so le trong)
Suy ra: góc OMH + góc OHN = 180°
Do đó, tứ giác ONMH nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).
Chứng minh HB là tia phân giác của góc MHN:

Xét tam giác vuông OBH, ta có: góc OBH + góc OHB = 90°
Xét tam giác vuông OMH, ta có: góc OMH + góc OHM = 90°
Vì tứ giác ONMH nội tiếp (cmt) => góc OHM = góc ONM
Lại có: góc ONM = góc OMN (ΔOMN cân tại O)
Suy ra: góc OHM = góc OMN
Từ các đẳng thức trên, suy ra: góc OBH = góc OMH
Mà góc OBH = góc CBH
Suy ra: góc CBH = góc OMH
Mà góc OMH = góc NHB (cùng chắn cung NB)
Suy ra: góc CBH = góc NHB
Lại có: góc CBH = góc MHB (cùng chắn cung MB)
Suy ra: góc MHB = góc NHB
Vậy HB là tia phân giác của góc MHN