Quảng cáo
3 câu trả lời 33
Ta cần tìm tất cả các số nguyên tố \( p \) và \( q \) sao cho:
\[
p^3 + (-q)^2 = 246
\]
Vì \( (-q)^2 = q^2 \) (vì bình phương một số luôn là số dương), ta có phương trình:
\[
p^3 + q^2 = 246
\]
Ta cần tìm giá trị của \( p \) sao cho \( p^3 \) không vượt quá 246. Ta thử các giá trị của \( p \) từ 2 trở đi (vì \( p \) là số nguyên tố và \( p^3 \) phải nhỏ hơn hoặc bằng 246):
- \( p = 2 \): \( p^3 = 2^3 = 8 \)
- \( p = 3 \): \( p^3 = 3^3 = 27 \)
- \( p = 5 \): \( p^3 = 5^3 = 125 \)
- \( p = 7 \): \( p^3 = 7^3 = 343 \) (vượt quá 246, ta dừng lại ở đây)
Vậy \( p \) có thể là 2, 3, hoặc 5.
Dựa vào phương trình \( p^3 + q^2 = 246 \), ta tính \( q^2 \) cho từng giá trị của \( p \):
Khi \( p = 2 \):
\[
2^3 + q^2 = 246 \implies 8 + q^2 = 246 \implies q^2 = 246 - 8 = 238
\]
Ta thấy rằng 238 không phải là bình phương của một số nguyên, vì \( \sqrt{238} \) không phải là số nguyên. Do đó, không có nghiệm với \( p = 2 \).
Khi \( p = 3 \):
\[
3^3 + q^2 = 246 \implies 27 + q^2 = 246 \implies q^2 = 246 - 27 = 219
\]
Ta thấy rằng 219 không phải là bình phương của một số nguyên, vì \( \sqrt{219} \) không phải là số nguyên. Do đó, không có nghiệm với \( p = 3 \).
Khi \( p = 5 \):
\[
5^3 + q^2 = 246 \implies 125 + q^2 = 246 \implies q^2 = 246 - 125 = 121
\]
Ta thấy rằng \( q^2 = 121 \), và \( q = 11 \), vì \( 11^2 = 121 \).
Vậy nghiệm duy nhất thỏa mãn phương trình là \( p = 5 \) và \( q = 11 \), với \( p \) và \( q \) đều là các số nguyên tố.
Số nguyên tố \( p = 5 \) và \( q = 11 \) là nghiệm của phương trình \( p^3 + (-q)^2 = 246 \).
Để tìm tất cả các số nguyên tố pp và qq thoả mãn phương trình $p^3$ + $(-q)^2$ = 246, ta sẽ phân tích và giải quyết bài toán như sau:
Phương trình ban đầu:
$p^3$ + $(-q)^2$ = 246
Trong đó pp và qq là các số nguyên tố. Do $(-q)^2$ = $q^2$, phương trình trở thành:
$p^3$ + $q^2$ = 246
Vì $p^3$ là lũy thừa bậc 3 của một số nguyên tố, ta cần tìm các giá trị của p sao cho $p^3$ không vượt quá 246.
p = 2:$p^3$ = 8
p = 3: $p^3$ = 27
p = 5: $p^3$ = 125
p = 7: $p^3$ = 343 (lớn hơn 246)
Vì vậy, p chỉ có thể là 2, 3 hoặc 5.
Trường hợp 1: p = 2
Khi p = 2, phương trình trở thành:
$2^3$ + $q^2$ = 246 $\quad$ $\Rightarrow$ $\quad$ 8 + $q^2$ = 246 $\quad$ $\Rightarrow$ $\quad$ $q^2$ = 238
Không có giá trị nguyên tố q nào sao cho $q^2$ = 238, vì 238 không phải là một số hoàn hảo.
Trường hợp 2: p = 3
Khi p = 3, phương trình trở thành:
$3^3$ + $q^2$ = 246 $\quad$ $\Rightarrow$ $\quad$ 27 + $q^2$ = 246 $\quad$ $\Rightarrow$ $\quad$ $q^2$ = 219
Tương tự, không có giá trị nguyên tố qq nào sao cho q2=219q^2 = 219, vì 219 không phải là một số hoàn hảo.
Trường hợp 3: p = 5
Khi p = 5, phương trình trở thành:
$5^3$ + $q^2$ = 246 $\quad$ $\Rightarrow$ $\quad$ 125 + $q^2$ = 246 $\quad$ $\Rightarrow$ $\quad$ $q^2$ = 121
Vì 121 = $11^2$, nên q = 11, và q là một số nguyên tố.
*Kết luận
Duy nhất có một cặp số nguyên tố p = 5 và q = 11 thoả mãn phương trình $p^3$ + $q^2$ = 246.
⇔p3+q2=246⇔p3+q2=246
⇔q2=246−p3⇔q2=246-p3
Do q2≥22=4∀q∈P⇒246−p3≥4q2≥22=4∀q∈P⇒246-p3≥4
⇔p3≤242⇔p≤3√242<7⇔p3≤242⇔p≤2423<7
⇒p∈{2;3;5}⇒p∈{2;3;5}
+)p=2⇒q2=238(ktm)+)p=2⇒q2=238(ktm)
+)p=3⇒q2=219(ktm)+)p=3⇒q2=219(ktm)
+)p=5⇒q2=121⇔q=11(tm)+)p=5⇒q2=121⇔q=11(tm)
Vậy (p;q)=(5;11)
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
5 48422
-
Hỏi từ APP VIETJACK4 40171
-
Hỏi từ APP VIETJACK4 34300
Bài viết mới nhất Lớp 6
-
1 năm trước2453
-
1 năm trước2335
-
1 năm trước2234
-
1 năm trước2296
