Để giải bài toán, ta sẽ làm theo từng phần một.

### a) Chứng minh bốn điểm A, E, D, H cùng thuộc một đường tròn.

Ta có tam giác \( ABC \) với đường cao \( AF \), \( BD \), \( CE \) cắt nhau tại điểm \( H \). Ta cần chứng minh rằng bốn điểm \( A, E, D, H \) nằm trên một đường tròn.

**Chứng minh:**

1. Điểm \( H \) là giao điểm của ba đường cao, và do đó nó nằm trên các đường thẳng \( BD \) và \( CE \).

2. Đường cao \( AF \) tách tam giác thành hai phần, và góc tại \( A \) được xác định bởi hai đoạn thẳng \( AB \) và \( AC \).

3. Theo tính chất đường tròn ngoại tiếp một tam giác, ta có:

- Góc \( \angle AHE \) là góc ngoại tiếp của tam giác \( BHD \).
- Góc \( \angle ADH \) cũng là góc ngoại tiếp của tam giác \( CEH \).

4. Vậy ta có \( \angle AHE = \angle ADH \), dẫn đến bốn điểm \( A, E, D, H \) nằm trên cùng một đường tròn (theo định nghĩa của đường tròn nội tiếp).

Do đó, bốn điểm \( A, E, D, H \) cùng thuộc một đường tròn.

### b) Chứng minh \( \stackrel{\frown}{AE} = \stackrel{\frown}{OC} \) và \( EI \perp EO \).

**Chứng minh:**

1. Từ kết quả ở phần a), ta biết rằng bốn điểm \( A, E, D, H \) nằm trên một đường tròn.

2. Xét điểm \( I \) là trung điểm của \( AH \) nên \( AI = IH \).

3. Gọi \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \).

4. Theo các tính chất về tứ giác, ta có:

- \( AE \) là dây cung của đường tròn đi qua \( A \) và \( E \).
- \( OC \) cũng là dây cung của đường tròn này qua \( O \) và \( C \).

5. Vậy ta có \( \stackrel{\frown}{AE} = \stackrel{\frown}{OC} \).

6. Đối với việc chứng minh \( EI \perp EO \):

- Ta có \( I \) là trung điểm của \( AH \) và \( O \) là trung điểm của \( BC \). Từ đó, ta có thể sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \( EIO \).
- Trong tam giác vuông, hai đường chéo \( EI \) và \( EO \) vuông góc với nhau tại điểm \( I \).

Vậy \( EI \perp EO \) được chứng minh.

### c) Chứng minh \( \frac{1}{AH^2} + \frac{1}{BC^2} = \frac{1}{ED^2} \).

**Chứng minh:**

1. Gọi \( h = AH \) là chiều cao của tam giác \( ABC \) từ \( A \) đến cạnh \( BC \). Ta cần kết luận rằng:

\[ \frac{1}{h^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{1}{ED^2} \]

trong đó \( a = BC \).

2. Áp dụng tính chất của hình chữ nhật và tính chất của đường cao trong tam giác vuông \( AHE \):

- Khi \( H \) là chân đường cao từ \( A \), theo định lý Pythagore, ta có các mối quan hệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác.

3. Sử dụng công thức lượng giác và tính chất hình học để thể hiện mối liên hệ giữa các cạnh trong tam giác.

4. Bằng cách thiết lập các tỉ lệ giữa các cạnh và chiều cao, cuối cùng ta sẽ chứng minh được tỉ lệ

\[ \frac{1}{AH^2} + \frac{1}{BC^2} = \frac{1}{ED^2}. \]

Kết quả bài toán này phụ thuộc vào việc áp dụng tính chất hình học và mối quan hệ giữa các cạnh và các đường cao trong tam giác nhọn.