Giải hệ phương trình
Hệ phương trình:

3x + y = 5
2x - 3y = 1

Cách giải:

Chúng ta có thể giải hệ phương trình này bằng nhiều cách, dưới đây là hai cách phổ biến:

Cách 1: Phương pháp thế
Biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại: Từ phương trình thứ nhất, ta có: y = 5 - 3x
Thế biểu thức vừa tìm được vào phương trình còn lại: Thay y = 5 - 3x vào phương trình thứ hai, ta được: 2x - 3(5 - 3x) = 1 ⇔ 2x - 15 + 9x = 1 ⇔ 11x = 16 ⇔ x = 16/11
Tìm giá trị của ẩn còn lại: Thay x = 16/11 vào y = 5 - 3x, ta được: y = 5 - 3 * (16/11) = 13/11
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

x = 16/11
y = 13/11

Cách 2: Phương pháp cộng đại số
Nhân hai phương trình với các số thích hợp để hệ số của một ẩn nào đó đối nhau: Để hệ số của y đối nhau, ta nhân phương trình thứ nhất với 3 và giữ nguyên phương trình thứ hai:9x + 3y = 15
2x - 3y = 1

Cộng hai phương trình vế theo vế để khử ẩn y: (9x + 3y) + (2x - 3y) = 15 + 1 ⇔ 11x = 16 ⇔ x = 16/11
Tìm giá trị của ẩn còn lại: Thay x = 16/11 vào một trong hai phương trình ban đầu, ta sẽ tìm được y = 13/11
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

x = 16/11
y = 13/11

Kết luận: Dù sử dụng cách nào, ta đều thu được kết quả giống nhau. Nghiệm của hệ phương trình là (16/11, 13/11).

Để giải bài toán \( n^2 + 3n + 1 \) chia hết cho \( n + 2 \), chúng ta cần tìm giá trị của \( n \) sao cho thương \( \frac{n^2 + 3n + 1}{n + 2} \) là số nguyên.

Đầu tiên, ta có thể sử dụng quy tắc chia đối với đa thức. Ta thực hiện phân tích \( n^2 + 3n + 1 \) theo \( n + 2 \).

### Bước 1: Chia đa thức

Chia \( n^2 + 3n + 1 \) cho \( n + 2 \):

1. Lấy \( n^2 \) chia cho \( n \) được \( n \).
2. Nhân \( n \) với \( n + 2 \) được \( n^2 + 2n \).
3. Trừ \( n^2 + 2n \) khỏi \( n^2 + 3n + 1 \):

\[
(n^2 + 3n + 1) - (n^2 + 2n) = n + 1
\]

4. Tiếp tục với phần dư \( n + 1 \):

- Lấy \( n \) chia cho \( n \) được \( 1 \).
- Nhân \( 1 \) với \( n + 2 \) được \( n + 2 \).
- Trừ \( n + 2 \) khỏi \( n + 1 \):

\[
(n + 1) - (n + 2) = -1
\]

Vậy ta có được:

\[
n^2 + 3n + 1 = (n + 2)(n + 1) - 1
\]

### Bước 2: Điều kiện chia hết

Để \( n^2 + 3n + 1 \) chia hết cho \( n + 2 \), phần dư \( -1 \) phải bằng 0, tức là:

\[
-1 = 0 \quad \text{( điều này không xảy ra )}
\]

Như vậy, ta biết rằng \( n^2 + 3n + 1 \) không thể chia hết ngay cả khi phần dư ra là một số nguyên -1. Tuy nhiên, ta còn có thể thử tìm các giá trị của \( n \) mà làm cho \( n + 2 \) chia hết cho \( n + 2 \) nhưng cũng là điều kiện cần.

### Bước 3: Tìm giá trị n

Áp dụng điều kiện còn lại:

Ta muốn:

\[
n^2 + 3n + 1 \equiv 0 \pmod{n + 2}
\]

Nên ta giải:

\[
n + 2 = 0 \Rightarrow n = -2
\]

### Bước 4: Kiểm tra giá trị:

Ta thử \( n = -2 \):

\[
n^2 + 3n + 1 = (-2)^2 + 3(-2) + 1 = 4 - 6 + 1 = -1
\]

Tuy nhiên, ta cần tìm tất cả giá trị \( n \):

Như vậy các giá trị khác vẫn có thể thử nghiệm bằng cách giải phương trình sau:

Chúng ta thử nghiệm các giá trị nguyên thực tiễn tạo thành hệ đơn giản khác ngoài \( n + 2 \).

1. \( n^2 + 3n + 1 = k(n + 2) \) cho k là 1

Nếu k=1, ta sẽ thay bằng các giá trị bắt đầu với ta nhận được không ra.

### Kết Luận

Kết luận từ việc thử nghiệm và kiểm tra các phương trình khác, ta tìm ra rằng:

\[
n = -2 \text{ là một nghiệm duy nhất}
\]

Ngoài ra \( n = -2 \) tạo một số nhỏ không ảnh hưởng hiệu quả.