Để giải bài toán với phương trình \( x + \frac{1}{x^2} = 2 \), ta sẽ tính \( x^2 + \frac{1}{x^2} \) và \( x^4 + \frac{1}{x^4} \).

### Bước 1: Tính \( x^2 + \frac{1}{x^2} \)

1. Đặt \( y = x + \frac{1}{x} \). Từ phương trình đã cho, ta có:
\[
y = x + \frac{1}{x} = 2
\]

2. Sử dụng công thức:
\[
y^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}
\]
Suy ra:
\[
x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2
\]

3. Tính \( y^2 \):
\[
y^2 = 2^2 = 4
\]

4. Tính \( x^2 + \frac{1}{x^2} \):
\[
x^2 + \frac{1}{x^2} = 4 - 2 = 2
\]

### Bước 2: Tính \( x^4 + \frac{1}{x^4} \)

1. Sử dụng công thức:
\[
x^4 + \frac{1}{x^4} = \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right)^2 - 2
\]

2. Thay \( x^2 + \frac{1}{x^2} = 2 \) vào công thức:
\[
x^4 + \frac{1}{x^4} = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2
\]

### Kết luận

Vậy:
- \( x^2 + \frac{1}{x^2} = 2 \)
- \( x^4 + \frac{1}{x^4} = 2 \)

Để giải phương trình \(x + \frac{1}{x^2} = 2\) và tìm \(x^2 + \frac{1}{x^2}\) cũng như \(x^4 + \frac{1}{x^4}\), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tính \(x^2 \frac{1}{x^2}\)**:

Bắt đầu từ phương trình đã cho:
\[
x + \frac{1}{x^2} = 2
\]
Chúng ta sẽ nhân cả hai vế của phương trình này với \(x\):
\[
x^2 + 1 = 2x
\]
Sắp xếp lại, ta có:
\[
x^2 - 2x + 1 = 0
\]
Phương trình này có thể viết lại thành:
\[
(x - 1)^2 = 0
\]
Vậy, nghiệm là:
\[
x = 1
\]

2. **Tính \(x^2 + \frac{1}{x^2}\)**:

Với \(x = 1\), ta thay vào để tính:
\[
x^2 = 1^2 = 1 \quad \text{và} \quad \frac{1}{x^2} = \frac{1}{1^2} = 1
\]
Do đó:
\[
x^2 + \frac{1}{x^2} = 1 + 1 = 2
\]

3. **Tính \(x^4 + \frac{1}{x^4}\)**:

Sử dụng công thức:
\[
x^4 + \frac{1}{x^4} = \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 - 2
\]
Với \(x^2 + \frac{1}{x^2} = 2\), ta có:
\[
x^4 + \frac{1}{x^4} = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2
\]

**Kết luận**:
- \(x^2 + \frac{1}{x^2} = 2\)
- \(x^4 + \frac{1}{x^4} = 2\)