Để giải bài toán với phương trình $x + \frac{1}{x^2} = 2$, ta sẽ tính $x^2 + \frac{1}{x^2}$ và $x^4 + \frac{1}{x^4}$.

### Bước 1: Tính $x^2 + \frac{1}{x^2}$

1. Đặt $y = x + \frac{1}{x}$. Từ phương trình đã cho, ta có:
$y = x + \frac{1}{x} = 2$

2. Sử dụng công thức:
$y^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$
Suy ra:
$x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$

3. Tính $y^2$:
$y^2 = 2^2 = 4$

4. Tính $x^2 + \frac{1}{x^2}$:
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4 - 2 = 2$

### Bước 2: Tính $x^4 + \frac{1}{x^4}$

1. Sử dụng công thức:
$x^4 + \frac{1}{x^4} = \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right)^2 - 2$

2. Thay $x^2 + \frac{1}{x^2} = 2$ vào công thức:
$x^4 + \frac{1}{x^4} = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2$

### Kết luận

Vậy:
- $x^2 + \frac{1}{x^2} = 2$
- $x^4 + \frac{1}{x^4} = 2$

Để giải phương trình $x + \frac{1}{x^2} = 2$ và tìm $x^2 + \frac{1}{x^2}$ cũng như $x^4 + \frac{1}{x^4}$, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tính $x^2 \frac{1}{x^2}$**:

Bắt đầu từ phương trình đã cho:
$x + \frac{1}{x^2} = 2$
Chúng ta sẽ nhân cả hai vế của phương trình này với $x$:
$x^2 + 1 = 2x$
Sắp xếp lại, ta có:
$x^2 - 2x + 1 = 0$
Phương trình này có thể viết lại thành:
$(x - 1)^2 = 0$
Vậy, nghiệm là:
$x = 1$

2. **Tính $x^2 + \frac{1}{x^2}$**:

Với $x = 1$, ta thay vào để tính:
$x^2 = 1^2 = 1 \quad \text{và} \quad \frac{1}{x^2} = \frac{1}{1^2} = 1$
Do đó:
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 1 + 1 = 2$

3. **Tính $x^4 + \frac{1}{x^4}$**:

Sử dụng công thức:
$x^4 + \frac{1}{x^4} = \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 - 2$
Với $x^2 + \frac{1}{x^2} = 2$, ta có:
$x^4 + \frac{1}{x^4} = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2$

**Kết luận**:
- $x^2 + \frac{1}{x^2} = 2$
- $x^4 + \frac{1}{x^4} = 2$