Để giải bài toán này, trước hết chúng ta sẽ đơn giản hóa biểu thức:

√x+2x+2√x+1−√x−2x−1:√x√x+1x+2x+2x+1−x−2x−1:xx+1

### Bước 1: Đơn giản hóa biểu thức ở trên

1. **Xét phần tử số:** √x+2x+2

2. **Xét phần tử mẫu:**

Tính phía bên trong:
x+2√x+1=x+2√x+1x+2x+1=x+2x+1

Xét thành phần −√x−2x−1−x−2x−1:

Xác định mẫu:
x−1x−1
Chịu một chút đau đầu ở đó. Hãy nhân chéo:
−(√x−2)=−√x+2−(x−2)=−x+2
Tập hợp mọi thứ lại:
⇒x+2√x+1−(−√x+2)=x+3√x−1⇒x+2x+1−(−x+2)=x+3x−1

### Bước 2: Thay vào và tiếp tục đơn giản hóa

Đối với phân số này, chúng ta dần thu rút lại biểu thức:
√x+2x+3√x−1:√x√x+1x+2x+3x−1:xx+1

### Bước 3: Thay đổi chia thành nhân

Khi chúng ta chia một phân số cho một phân số khác, chúng ta có thể nhân với nghịch đảo của phân số thứ hai:
=√x+2x+3√x−1⋅√x+1√x=x+2x+3x−1⋅x+1x

### Bước 4: Rút gọn

Biểu thức vừa được thu về:
=(√x+2)(√x+1)(x+3√x−1)√x

Để giải biểu thức

\[
\frac{\left(\frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2\sqrt{x} + 1} - \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1}\right)}{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}}
\]

ta sẽ làm theo các bước chi tiết sau:

### Bước 1: Tìm mẫu số chung cho hai phân số trong biểu thức

Hai phân số bên trong dấu ngoặc là:

1. \(\frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2\sqrt{x} + 1}\)
2. \(\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1}\)

**Mẫu số chung:** \( (x + 2\sqrt{x} + 1)(x - 1) \)

### Bước 2: Chuyển hai phân số về mẫu số chung

Biểu thức trở thành:

\[
\frac{(\sqrt{x} + 2)(x - 1) - (\sqrt{x} - 2)(x + 2\sqrt{x} + 1)}{(x + 2\sqrt{x} + 1)(x - 1)}
\]

### Bước 3: Tính tử số

Tính từng phần trong tử số:

1. Tử số của phân số đầu tiên:
\[
(\sqrt{x} + 2)(x - 1) = \sqrt{x}x - \sqrt{x} + 2x - 2 = x\sqrt{x} + 2x - \sqrt{x} - 2
\]

2. Tử số của phân số thứ hai:
\[
(\sqrt{x} - 2)(x + 2\sqrt{x} + 1) = \sqrt{x}x + 2x + \sqrt{x} - 2x - 4\sqrt{x} - 2 = x\sqrt{x} + 2x - 2x - 4\sqrt{x} - 2 = x\sqrt{x} - 4\sqrt{x} - 2
\]

### Bước 4: Kết hợp các phần tử trong tử số

Tử số chung sẽ là:

\[
(x\sqrt{x} + 2x - \sqrt{x} - 2) - (x\sqrt{x} - 4\sqrt{x} - 2)
\]

Rút gọn:

\[
x\sqrt{x} + 2x - \sqrt{x} - 2 - x\sqrt{x} + 4\sqrt{x} + 2 = 2x + 3\sqrt{x}
\]

### Bước 5: Viết lại biểu thức

Ta có:

\[
\frac{2x + 3\sqrt{x}}{(x + 2\sqrt{x} + 1)(x - 1)}
\]

Và biểu thức chia cho \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}\):

\[
\frac{2x + 3\sqrt{x}}{(x + 2\sqrt{x} + 1)(x - 1)} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}
\]

### Bước 6: Kết hợp và rút gọn

Khi kết hợp, ta được:

\[
\frac{(2x + 3\sqrt{x})(\sqrt{x} + 1)}{(x + 2\sqrt{x} + 1)(x - 1)\sqrt{x}}
\]

### Kết luận

Biểu thức đã được rút gọn thành:

\[
\frac{(2x + 3\sqrt{x})(\sqrt{x} + 1)}{(x + 2\sqrt{x} + 1)(x - 1)\sqrt{x}}
\]

Để tiếp tục giải, ta có thể thay \( \sqrt{x} = t \) và thay thế cho dễ tính toán. Nhưng như vậy đã đủ để hiểu quá trình rút gọn.

Để giải bài toán này, trước hết chúng ta sẽ đơn giản hóa biểu thức:

\[
\frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2\sqrt{x} + 1 - \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1}} : \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}
\]

### Bước 1: Đơn giản hóa biểu thức ở trên

1. **Xét phần tử số:** \(\sqrt{x} + 2\)

2. **Xét phần tử mẫu:**

Tính phía bên trong:
\[
x + 2\sqrt{x} + 1 = x + 2\sqrt{x} + 1
\]

Xét thành phần \(- \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1}\):

Xác định mẫu:
\[
x - 1
\]
Chịu một chút đau đầu ở đó. Hãy nhân chéo:
\[
-( \sqrt{x} - 2 ) = -\sqrt{x} + 2
\]
Tập hợp mọi thứ lại:
\[
\Rightarrow x + 2\sqrt{x} + 1 - \left( -\sqrt{x} + 2 \right) = x + 3\sqrt{x} - 1
\]

### Bước 2: Thay vào và tiếp tục đơn giản hóa

Đối với phân số này, chúng ta dần thu rút lại biểu thức:
\[
\frac{\sqrt{x} + 2}{x + 3\sqrt{x} - 1} : \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}
\]

### Bước 3: Thay đổi chia thành nhân

Khi chúng ta chia một phân số cho một phân số khác, chúng ta có thể nhân với nghịch đảo của phân số thứ hai:
\[
= \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 3\sqrt{x} - 1} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}
\]

### Bước 4: Rút gọn

Biểu thức vừa được thu về:
\[
= \frac{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 1)}{(x + 3\sqrt{x} - 1)\sqrt{x}}
\]

### Bước 5: Kết quả cuối

Sau khi thực hiện các phép toán, chúng ta đã rút gọn được biểu thức trên. Giai đoạn này cần tái thực hiện một số phép rút gọn sao cho tổng quát hơn nếu cần thiết.

Tính toán cuối cùng dựa vào các giá trị cụ thể sẽ phụ thuộc vào việc bạn có giá trị của \(x\) hay không.

Nếu bạn cần giá trị cụ thể hoặc các phép toán khác, hãy cho tôi biết thêm để tôi có thể hỗ trợ bạn một cách chi tiết hơn!