Quảng cáo
3 câu trả lời 140
Để tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD, trước tiên ta cần xác định khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD).
### Bước 1: Tìm phương trình mặt phẳng (BCD)
Mặt phẳng (BCD) đi qua 3 điểm B(−1,1,2), C(−1,1,0), D(2,−1,−2). Ta cần tìm một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng này.
Để tìm véc-tơ pháp tuyến, ta tính các véc-tơ →BC và →BD:
→BC=C−B=(−1,1,0)−(−1,1,2)=(0,0,−2)
→BD=D−B=(2,−1,−2)−(−1,1,2)=(3,−2,−4)
Véc-tơ pháp tuyến →n của mặt phẳng (BCD) là tích có hướng của hai véc-tơ →BC và →BD:
→n=→BC×→BD=|ijk00−23−2−4|
=i⋅(0⋅(−4)−(−2)⋅(−2))−j⋅(0⋅(−4)−(−2)⋅3)+k⋅(0⋅(−2)−0⋅3)
=i⋅(0−4)−j⋅(0+6)+k⋅(0−0)
=(−4,−6,0)
Do đó, véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng là →n=(−4,−6,0). Phương trình mặt phẳng (BCD) có dạng:
−4(x+1)−6(y−1)+0(z−2)=0
⇒−4x−6y+10=0
Chúng ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng:
2x+3y=5
### Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm A(1,0,1) đến mặt phẳng (BCD)
Công thức tính khoảng cách từ điểm A(x0,y0,z0) đến mặt phẳng ax+by+cz+d=0 là:
d=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2
Ở đây, phương trình mặt phẳng là 2x+3y−5=0 nên:
a=2,b=3,c=0,d=−5
Tọa độ của điểm A(1,0,1), ta có:
d=|2(1)+3(0)+0(1)−5|√22+32+02=|2−5|√4+9=|−3|√13=3√13
Vậy độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD bằng 3√13.
Để tính độ dài đường cao AHAH của tứ diện ABCDABCD, trước tiên ta cần xác định khoảng cách từ điểm AA đến mặt phẳng (BCD)(BCD).
### Bước 1: Tìm phương trình mặt phẳng (BCD)(BCD)
Mặt phẳng (BCD)(BCD) đi qua 3 điểm B(−1,1,2)B(−1,1,2), C(−1,1,0)C(−1,1,0), D(2,−1,−2)D(2,−1,−2). Ta cần tìm một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng này.
Để tìm véc-tơ pháp tuyến, ta tính các véc-tơ −−→BCBC→ và −−→BDBD→:
−−→BC=C−B=(−1,1,0)−(−1,1,2)=(0,0,−2)BC→=C−B=(−1,1,0)−(−1,1,2)=(0,0,−2)
−−→BD=D−B=(2,−1,−2)−(−1,1,2)=(3,−2,−4)BD→=D−B=(2,−1,−2)−(−1,1,2)=(3,−2,−4)
Véc-tơ pháp tuyến →nn→ của mặt phẳng (BCD)(BCD) là tích có hướng của hai véc-tơ −−→BCBC→ và −−→BDBD→:
→n=−−→BC×−−→BD=∣∣ ∣∣ijk00−23−2−4∣∣ ∣∣n→=BC→×BD→=|ijk00−23−2−4|
=i⋅(0⋅(−4)−(−2)⋅(−2))−j⋅(0⋅(−4)−(−2)⋅3)+k⋅(0⋅(−2)−0⋅3)=i⋅(0⋅(−4)−(−2)⋅(−2))−j⋅(0⋅(−4)−(−2)⋅3)+k⋅(0⋅(−2)−0⋅3)
=i⋅(0−4)−j⋅(0+6)+k⋅(0−0)=i⋅(0−4)−j⋅(0+6)+k⋅(0−0)
=(−4,−6,0)=(−4,−6,0)
Do đó, véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng là →n=(−4,−6,0)n→=(−4,−6,0). Phương trình mặt phẳng (BCD)(BCD) có dạng:
−4(x+1)−6(y−1)+0(z−2)=0−4(x+1)−6(y−1)+0(z−2)=0
⇒−4x−6y+10=0⇒−4x−6y+10=0
Chúng ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng:
2x+3y=52x+3y=5
### Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm A(1,0,1)A(1,0,1) đến mặt phẳng (BCD)(BCD)
Công thức tính khoảng cách từ điểm A(x0,y0,z0)A(x0,y0,z0) đến mặt phẳng ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 là:
d=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2d=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2
Ở đây, phương trình mặt phẳng là 2x+3y−5=02x+3y−5=0 nên:
a=2,b=3,c=0,d=−5a=2,b=3,c=0,d=−5
Tọa độ của điểm A(1,0,1)A(1,0,1), ta có:
d=|2(1)+3(0)+0(1)−5|√22+32+02=|2−5|√4+9=|−3|√13=3√13d=|2(1)+3(0)+0(1)−5|22+32+02=|2−5|4+9=|−3|13=313
Vậy độ dài đường cao AHAH của tứ diện ABCDABCD bằng 3√13313.
Quảng cáo