Để tính độ dài đường cao \( AH \) của tứ diện \( ABCD \), trước tiên ta cần xác định khoảng cách từ điểm \( A \) đến mặt phẳng \( (BCD) \).

### Bước 1: Tìm phương trình mặt phẳng \( (BCD) \)
Mặt phẳng \( (BCD) \) đi qua 3 điểm \( B(-1, 1, 2) \), \( C(-1, 1, 0) \), \( D(2, -1, -2) \). Ta cần tìm một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng này.

Để tìm véc-tơ pháp tuyến, ta tính các véc-tơ \( \overrightarrow{BC} \) và \( \overrightarrow{BD} \):
\[
\overrightarrow{BC} = C - B = (-1, 1, 0) - (-1, 1, 2) = (0, 0, -2)
\]
\[
\overrightarrow{BD} = D - B = (2, -1, -2) - (-1, 1, 2) = (3, -2, -4)
\]
Véc-tơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} \) của mặt phẳng \( (BCD) \) là tích có hướng của hai véc-tơ \( \overrightarrow{BC} \) và \( \overrightarrow{BD} \):
\[
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
0 & 0 & -2 \\
3 & -2 & -4
\end{vmatrix}
\]
\[
= \mathbf{i} \cdot (0 \cdot (-4) - (-2) \cdot (-2)) - \mathbf{j} \cdot (0 \cdot (-4) - (-2) \cdot 3) + \mathbf{k} \cdot (0 \cdot (-2) - 0 \cdot 3)
\]
\[
= \mathbf{i} \cdot (0 - 4) - \mathbf{j} \cdot (0 + 6) + \mathbf{k} \cdot (0 - 0)
\]
\[
= (-4, -6, 0)
\]
Do đó, véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng là \( \overrightarrow{n} = (-4, -6, 0) \). Phương trình mặt phẳng \( (BCD) \) có dạng:
\[
-4(x + 1) - 6(y - 1) + 0(z - 2) = 0
\]
\[
\Rightarrow -4x - 6y + 10 = 0
\]
Chúng ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng:
\[
2x + 3y = 5
\]

### Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm \( A(1, 0, 1) \) đến mặt phẳng \( (BCD) \)
Công thức tính khoảng cách từ điểm \( A(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là:
\[
d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}
\]
Ở đây, phương trình mặt phẳng là \( 2x + 3y - 5 = 0 \) nên:
\[
a = 2, \, b = 3, \, c = 0, \, d = -5
\]
Tọa độ của điểm \( A(1, 0, 1) \), ta có:
\[
d = \frac{|2(1) + 3(0) + 0(1) - 5|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 0^2}} = \frac{|2 - 5|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|-3|}{\sqrt{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}}
\]

Vậy độ dài đường cao \( AH \) của tứ diện \( ABCD \) bằng \( \frac{3}{\sqrt{13}} \).

Để tính độ dài đường cao AHAH của tứ diện ABCDABCD, trước tiên ta cần xác định khoảng cách từ điểm AA đến mặt phẳng (BCD)(BCD).

### Bước 1: Tìm phương trình mặt phẳng (BCD)(BCD)
Mặt phẳng (BCD)(BCD) đi qua 3 điểm B(−1,1,2)B(−1,1,2), C(−1,1,0)C(−1,1,0), D(2,−1,−2)D(2,−1,−2). Ta cần tìm một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng này.

Để tìm véc-tơ pháp tuyến, ta tính các véc-tơ −−→BCBC→ và −−→BDBD→:
−−→BC=C−B=(−1,1,0)−(−1,1,2)=(0,0,−2)BC→=C−B=(−1,1,0)−(−1,1,2)=(0,0,−2)
−−→BD=D−B=(2,−1,−2)−(−1,1,2)=(3,−2,−4)BD→=D−B=(2,−1,−2)−(−1,1,2)=(3,−2,−4)
Véc-tơ pháp tuyến →nn→ của mặt phẳng (BCD)(BCD) là tích có hướng của hai véc-tơ −−→BCBC→ và −−→BDBD→:
→n=−−→BC×−−→BD=∣∣ ∣∣ijk00−23−2−4∣∣ ∣∣n→=BC→×BD→=|ijk00−23−2−4|
=i⋅(0⋅(−4)−(−2)⋅(−2))−j⋅(0⋅(−4)−(−2)⋅3)+k⋅(0⋅(−2)−0⋅3)=i⋅(0⋅(−4)−(−2)⋅(−2))−j⋅(0⋅(−4)−(−2)⋅3)+k⋅(0⋅(−2)−0⋅3)
=i⋅(0−4)−j⋅(0+6)+k⋅(0−0)=i⋅(0−4)−j⋅(0+6)+k⋅(0−0)
=(−4,−6,0)=(−4,−6,0)
Do đó, véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng là →n=(−4,−6,0)n→=(−4,−6,0). Phương trình mặt phẳng (BCD)(BCD) có dạng:
−4(x+1)−6(y−1)+0(z−2)=0−4(x+1)−6(y−1)+0(z−2)=0
⇒−4x−6y+10=0⇒−4x−6y+10=0
Chúng ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng:
2x+3y=52x+3y=5

### Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm A(1,0,1)A(1,0,1) đến mặt phẳng (BCD)(BCD)
Công thức tính khoảng cách từ điểm A(x0,y0,z0)A(x0,y0,z0) đến mặt phẳng ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 là:
d=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2d=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2
Ở đây, phương trình mặt phẳng là 2x+3y−5=02x+3y−5=0 nên:
a=2,b=3,c=0,d=−5a=2,b=3,c=0,d=−5
Tọa độ của điểm A(1,0,1)A(1,0,1), ta có:
d=|2(1)+3(0)+0(1)−5|√22+32+02=|2−5|√4+9=|−3|√13=3√13d=|2(1)+3(0)+0(1)−5|22+32+02=|2−5|4+9=|−3|13=313

Vậy độ dài đường cao AHAH của tứ diện ABCDABCD bằng 3√13313.