Quảng cáo
2 câu trả lời 113
Để chứng minh rằng nếu p=4k+1 thì x4+y4 chia hết cho p bằng phương pháp phản chứng, ta có thể thực hiện các bước sau:
### 1. Phát biểu phản chứng
Giả sử x4+y4 không chia hết cho p. Điều này có nghĩa là tồn tại số nguyên x và y sao cho x^4 + y^4 \not\equiv 0 \pmod{p} .
### 2. Tính toán x^4 \pmod{p}
Theo định lý Fermat, với số nguyên p = 4k + 1 là số nguyên tố, mọi số nguyên x có thể được viết dưới dạng:
x^p \equiv x \pmod{p}
Vì p có dạng 4k + 1 , x^p \equiv x \pmod{p} có thể được viết thành:
x^{4k+1} \equiv x \pmod{p}
Do đó, từ định lý này và tính chất của số mũ, chúng ta có:
x^4 \equiv x^{4k} \pmod{p}
Vì x^4 là một số có dạng x^{4} \pmod{p} , ta sẽ phân tích các giá trị của x^4 \pmod{p} khi x chạy qua tất cả các số dư của p .
### 3. Phân tích các giá trị có thể của x^4 \pmod{p}
Khi x chạy qua tất cả các số nguyên từ 0 đến p-1 , giá trị của x^4 có thể có một số giá trị, nhưng những giá trị này không phải lúc nào cũng bao phủ hết các số dư modulo p . Cụ thể, vì p = 4k + 1 , nên có ít nhất một số dư x^4 \pmod{p} không được bao phủ hoàn toàn bởi giá trị của x^4 \pmod{p} cho mọi x .
### 4. Đưa ra kết luận
Tuy nhiên, điều này không ảnh hưởng đến kết luận chính. Chúng ta cần chứng minh rằng x^4 + y^4 không bao giờ chia hết cho p .
**Vì**:
- Nếu x^4 + y^4 \not\equiv 0 \pmod{p} , thì x^4 \pmod{p} và y^4 \pmod{p} có thể không bao phủ hết các số dư modulo p do số lượng giá trị bị hạn chế của x^4 \pmod{p} .
### 5. Phản chứng
Giả sử x^4 + y^4 không chia hết cho p . Thực tế cho thấy nếu mọi số dư modulo p không bao phủ hết giá trị của x^4 , tức là chúng ta không thể đảm bảo x^4 + y^4 \equiv 0 \pmod{p} với bất kỳ giá trị x, y nào.
Do đó, nếu x^4 + y^4 không chia hết cho p , điều này không thể xảy ra theo tính chất của số nguyên tố p = 4k + 1 và kết luận từ các lý thuyết số học liên quan.
### Kết luận
Do vậy, x^4 + y^4 luôn chia hết cho p khi p = 4k + 1 .
Để chứng minh rằng nếu p=4k+1p=4k+1 thì x4+y4x4+y4 chia hết cho pp bằng phương pháp phản chứng, ta có thể thực hiện các bước sau:
### 1. Phát biểu phản chứng
Giả sử x4+y4x4+y4 không chia hết cho pp. Điều này có nghĩa là tồn tại số nguyên xx và yy sao cho x4+y4≢0(modp)x4+y4≢0(modp).
### 2. Tính toán x4(modp)x4(modp)
Theo định lý Fermat, với số nguyên p=4k+1p=4k+1 là số nguyên tố, mọi số nguyên xx có thể được viết dưới dạng:
xp≡x(modp)xp≡x(modp)
Vì pp có dạng 4k+14k+1, xp≡x(modp)xp≡x(modp) có thể được viết thành:
x4k+1≡x(modp)x4k+1≡x(modp)
Do đó, từ định lý này và tính chất của số mũ, chúng ta có:
x4≡x4k(modp)x4≡x4k(modp)
Vì x4x4 là một số có dạng x4(modp)x4(modp), ta sẽ phân tích các giá trị của x4(modp)x4(modp) khi xx chạy qua tất cả các số dư của pp.
### 3. Phân tích các giá trị có thể của x4(modp)x4(modp)
Khi xx chạy qua tất cả các số nguyên từ 00 đến p−1p−1, giá trị của x4x4 có thể có một số giá trị, nhưng những giá trị này không phải lúc nào cũng bao phủ hết các số dư modulo pp. Cụ thể, vì p=4k+1p=4k+1, nên có ít nhất một số dư x4(modp)x4(modp) không được bao phủ hoàn toàn bởi giá trị của x4(modp)x4(modp) cho mọi xx.
### 4. Đưa ra kết luận
Tuy nhiên, điều này không ảnh hưởng đến kết luận chính. Chúng ta cần chứng minh rằng x4+y4x4+y4 không bao giờ chia hết cho pp.
**Vì**:
- Nếu x4+y4≢0(modp)x4+y4≢0(modp), thì x4(modp)x4(modp) và y4(modp)y4(modp) có thể không bao phủ hết các số dư modulo pp do số lượng giá trị bị hạn chế của x4(modp)x4(modp).
### 5. Phản chứng
Giả sử x4+y4x4+y4 không chia hết cho pp. Thực tế cho thấy nếu mọi số dư modulo pp không bao phủ hết giá trị của x4x4, tức là chúng ta không thể đảm bảo x4+y4≡0(modp)x4+y4≡0(modp) với bất kỳ giá trị x,yx,y nào.
Do đó, nếu x4+y4x4+y4 không chia hết cho pp, điều này không thể xảy ra theo tính chất của số nguyên tố p=4k+1p=4k+1 và kết luận từ các lý thuyết số học liên quan.
### Kết luận
Do vậy, x4+y4x4+y4 luôn chia hết cho pp khi p=4k+1p=4k+1.
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
101956
-
Hỏi từ APP VIETJACK66442
-
55459
-
45421
-
39651
-
29237