Để giải phương trình \( \frac{2x + 1}{x + 1} + \frac{2}{x} = \frac{2}{x(x + 1)} \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tìm mẫu số chung

Tìm mẫu số chung của các phân số trong phương trình:

- Mẫu số của phân số đầu tiên: \( x + 1 \)
- Mẫu số của phân số thứ hai: \( x \)
- Mẫu số của phân số bên phải: \( x(x + 1) \)

Mẫu số chung là \( x(x + 1) \).

### Bước 2: Chuyển các phân số về cùng mẫu số chung

Viết lại các phân số với mẫu số chung \( x(x + 1) \):

1. **Phân số đầu tiên:**

\[
\frac{2x + 1}{x + 1} = \frac{(2x + 1) \cdot x}{(x + 1) \cdot x} = \frac{2x^2 + x}{x(x + 1)}
\]

2. **Phân số thứ hai:**

\[
\frac{2}{x} = \frac{2 \cdot (x + 1)}{x \cdot (x + 1)} = \frac{2x + 2}{x(x + 1)}
\]

3. **Phân số bên phải:**

\[
\frac{2}{x(x + 1)}
\]

### Bước 3: Cộng các phân số bên trái

Cộng hai phân số bên trái với mẫu số chung:

\[
\frac{2x^2 + x}{x(x + 1)} + \frac{2x + 2}{x(x + 1)} = \frac{2x^2 + x + 2x + 2}{x(x + 1)} = \frac{2x^2 + 3x + 2}{x(x + 1)}
\]

### Bước 4: So sánh với phân số bên phải

So sánh với phân số bên phải:

\[
\frac{2x^2 + 3x + 2}{x(x + 1)} = \frac{2}{x(x + 1)}
\]

### Bước 5: Giải phương trình

Để hai phân số bằng nhau, mẫu số giống nhau nên chỉ cần so sánh tử số:

\[
2x^2 + 3x + 2 = 2
\]

Giải phương trình bậc hai:

\[
2x^2 + 3x + 2 - 2 = 0
\]

\[
2x^2 + 3x = 0
\]

\[
x(2x + 3) = 0
\]

Nghiệm của phương trình là:

\[
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x + 3 = 0
\]

\[
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{3}{2}
\]

### Kết quả

Phương trình có hai nghiệm là \( x = 0 \) và \( x = -\frac{3}{2} \).

Để giải phương trình 2x+1x+1+2x=2x(x+1)2x+1x+1+2x=2x(x+1), ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tìm mẫu số chung

Tìm mẫu số chung của các phân số trong phương trình:

- Mẫu số của phân số đầu tiên: x+1x+1
- Mẫu số của phân số thứ hai: xx
- Mẫu số của phân số bên phải: x(x+1)x(x+1)

Mẫu số chung là x(x+1)x(x+1).

### Bước 2: Chuyển các phân số về cùng mẫu số chung

Viết lại các phân số với mẫu số chung x(x+1)x(x+1):

1. **Phân số đầu tiên:**

2x+1x+1=(2x+1)⋅x(x+1)⋅x=2x2+xx(x+1)2x+1x+1=(2x+1)⋅x(x+1)⋅x=2x2+xx(x+1)

2. **Phân số thứ hai:**

2x=2⋅(x+1)x⋅(x+1)=2x+2x(x+1)2x=2⋅(x+1)x⋅(x+1)=2x+2x(x+1)

3. **Phân số bên phải:**

2x(x+1)2x(x+1)

### Bước 3: Cộng các phân số bên trái

Cộng hai phân số bên trái với mẫu số chung:

2x2+xx(x+1)+2x+2x(x+1)=2x2+x+2x+2x(x+1)=2x2+3x+2x(x+1)2x2+xx(x+1)+2x+2x(x+1)=2x2+x+2x+2x(x+1)=2x2+3x+2x(x+1)

### Bước 4: So sánh với phân số bên phải

So sánh với phân số bên phải:

2x2+3x+2x(x+1)=2x(x+1)2x2+3x+2x(x+1)=2x(x+1)

### Bước 5: Giải phương trình

Để hai phân số bằng nhau, mẫu số giống nhau nên chỉ cần so sánh tử số:

2x2+3x+2=22x2+3x+2=2

Giải phương trình bậc hai:

2x2+3x+2−2=02x2+3x+2−2=0

2x2+3x=02x2+3x=0

x(2x+3)=0x(2x+3)=0

Nghiệm của phương trình là:

x=0hoặc2x+3=0x=0hoặc2x+3=0

x=0hoặcx=−32x=0hoặcx=−32

### Kết quả

Phương trình có hai nghiệm là x=0x=0 và x=−32x=−32.