Để giải bài toán này, ta cần phân tích điều kiện được cho và áp dụng vào việc tính \( S = x^{2015} + y^{2015} + z^{2015} \).

### Bước 1: Phân tích điều kiện

Điều kiện cho là:

\[
\frac{x^2 + y^2 + z^2}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}
\]

Chúng ta sẽ xem xét điều kiện này bằng cách chọn các giá trị cụ thể cho \( a \), \( b \), và \( c \).

### Bước 2: Xét trường hợp đơn giản

Để đơn giản hóa, giả sử \( a = b = c \). Ta đặt \( a = b = c = 1 \), nên điều kiện trở thành:

\[
\frac{x^2 + y^2 + z^2}{1^2 + 1^2 + 1^2} = \frac{x^2}{1^2} + \frac{y^2}{1^2} + \frac{z^2}{1^2}
\]

\[
\frac{x^2 + y^2 + z^2}{3} = x^2 + y^2 + z^2
\]

Nhân cả hai vế với 3, ta có:

\[
x^2 + y^2 + z^2 = 3(x^2 + y^2 + z^2)
\]

\[
0 = 2(x^2 + y^2 + z^2)
\]

Điều này chỉ xảy ra khi \( x^2 + y^2 + z^2 = 0 \), nghĩa là \( x = 0 \), \( y = 0 \), và \( z = 0 \).

### Bước 3: Tính giá trị của \( S \)

Với \( x = 0 \), \( y = 0 \), và \( z = 0 \):

\[
S = x^{2015} + y^{2015} + z^{2015}
\]

\[
S = 0^{2015} + 0^{2015} + 0^{2015}
\]

\[
S = 0
\]

### Kết luận

Vậy giá trị của \( S \) là \( \boxed{0} \).

Cho \( a, b, c, x, y, z \) thỏa mãn điều kiện:

\[
\frac{x^2 + y^2 + z^2}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}.
\]

Ta đặt \( X = x^2, Y = y^2, Z = z^2 \). Sau đó, điều kiện có thể viết lại là:

\[
\frac{X + Y + Z}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{X}{a^2} + \frac{Y}{b^2} + \frac{Z}{c^2}.
\]

Đưa về một biểu thức tương đương, ta có:

\[
(X + Y + Z) \left( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \right) = \frac{X}{a^2} + \frac{Y}{b^2} + \frac{Z}{c^2}.
\]

Nhân tất cả các thành phần của phương trình với \( a^2 b^2 c^2 \), chúng ta nhận được:

\[
(X + Y + Z)(b^2 c^2 + a^2 c^2 + a^2 b^2) = X(b^2 c^2) + Y(a^2 c^2) + Z(a^2 b^2).
\]

Xét điều kiện này, chúng ta cân nhắc biến cố khi \( x = ka, y = kb, z = kc \) cho một số \( k \). Khi đó:

\[
X = k^2 a^2, \quad Y = k^2 b^2, \quad Z = k^2 c^2.
\]

Thay thế vào biểu thức, ta có:

\[
\frac{k^2 a^2 + k^2 b^2 + k^2 c^2}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{k^2 a^2}{a^2} + \frac{k^2 b^2}{b^2} + \frac{k^2 c^2}{c^2} = k^2.
\]

Suy ra rằng hai vế của phương trình này là đúng, và điều này chứng tỏ rằng \( x, y, z \) có thể tỉ lệ với \( a, b, c \).

Đặt \( k = 1 \), ta có \( x = a, y = b, z = c \). Khi đó, ta tính \( S = x^{2015} + y^{2015} + z^{2015} = a^{2015} + b^{2015} + c^{2015} \).

Vì không có thêm thông tin cụ thể về các giá trị của \( a, b, c \), ta không thể tính chính xác được \( S \) dưới dạng số cụ thể. Tuy nhiên, ta đã chứng minh rằng:

\[
S = a^{2015} + b^{2015} + c^{2015}.
\]

Do đó, câu trả lời cho bài toán dựa trên các giá trị đã cho là:

\[
\boxed{a^{2015} + b^{2015} + c^{2015}}.