Để giải hệ phương trình theo sách giáo khoa mới, chúng ta sẽ làm từng bước như sau:

**Bài 1:**

Hệ phương trình đã cho:
\[ \begin{cases}
\frac{x+y}{2} = \frac{x-y}{4} \\
\frac{x}{3} = \frac{y}{5} + 1
\end{cases} \]

**Bước 1: Giải phương trình thứ nhất**

Nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với 4 để loại bỏ phân số:
\[ 4 \cdot \frac{x+y}{2} = 4 \cdot \frac{x-y}{4} \]
\[ 2(x+y) = x-y \]

Mở ngoặc:
\[ 2x + 2y = x - y \]

Đưa các thành viên chứa \( x \) về một vế và chứa \( y \) về một vế:
\[ 2x + 2y - x + y = 0 \]
\[ x + 3y = 0 \quad \text{(1)} \]

**Bước 2: Giải phương trình thứ hai**

Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 15 để loại bỏ phân số:
\[ 15 \cdot \frac{x}{3} = 15 \cdot \left( \frac{y}{5} + 1 \right) \]
\[ 5x = 3y + 15 \]

Đưa các thành viên chứa \( x \) về một vế và chứa \( y \) về một vế:
\[ 5x - 3y = 15 \quad \text{(2)} \]

**Bước 3: Giải hệ phương trình**

Giải hệ phương trình (1) và (2):
\[ \begin{cases}
x + 3y = 0 \\
5x - 3y = 15
\end{cases} \]

Cộng hai phương trình vế cho vế:
\[ (x + 3y) + (5x - 3y) = 0 + 15 \]
\[ 6x = 15 \]

Giải phương trình trên ta có:
\[ x = \frac{15}{6} = 2.5 \]

**Bước 4: Tính \( y \)**

Thay \( x = 2.5 \) vào phương trình (1):
\[ 2.5 + 3y = 0 \]
\[ 3y = -2.5 \]
\[ y = -\frac{2.5}{3} = -0.8333\ldots \]

**Kết luận:** Giá trị của \( x \) là 2.5 và \( y \) là -0.8333\ldots là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

**Bài 2:**

Hệ phương trình đã cho:
\[ \begin{cases}
\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1 \\
5x - 8y = 3
\end{cases} \]

**Bước 1: Giải phương trình thứ nhất**

Nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với 6 để loại bỏ phân số:
\[ 6 \cdot \left( \frac{x}{2} - \frac{y}{3} \right) = 6 \cdot 1 \]
\[ 3x - 2y = 6 \quad \text{(3)} \]

**Bước 2: Giải hệ phương trình**

Giải hệ phương trình (3) và (2):
\[ \begin{cases}
3x - 2y = 6 \\
5x - 8y = 3
\end{cases} \]

Để loại bỏ yếu tốủaẩn

Chúng ta sẽ giải từng hệ phương trình một.

### Hệ phương trình 1:
\[
\begin{cases}
\frac{x + y}{2} = x - \frac{y}{4} \\
\frac{x}{3} = \frac{y}{5} + 1
\end{cases}
\]

**Bước 1: Giải phương trình thứ nhất**

Từ phương trình thứ nhất:

\[
\frac{x + y}{2} = x - \frac{y}{4}
\]

Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ mẫu:

\[
2(x + y) = 4x - y
\]

Giải phương trình:

\[
2x + 2y = 4x - y \\
2y + y = 4x - 2x \\
3y = 2x \\
y = \frac{2}{3}x
\]

**Bước 2: Thay giá trị y vào phương trình thứ hai**

Thay \( y = \frac{2}{3}x \) vào phương trình thứ hai:

\[
\frac{x}{3} = \frac{\frac{2}{3}x}{5} + 1
\]

Giải:

\[
\frac{x}{3} = \frac{2}{15}x + 1
\]

Nhân cả hai vế với 15 để loại bỏ mẫu:

\[
5x = 2x + 15 \\
5x - 2x = 15 \\
3x = 15 \\
x = 5
\]

**Bước 3: Tìm giá trị của y**

Thay giá trị \( x = 5 \) vào \( y = \frac{2}{3}x \):

\[
y = \frac{2}{3} \times 5 = \frac{10}{3}
\]

### Kết quả hệ 1

Giải được \( x = 5 \), \( y = \frac{10}{3} \).

---

### Hệ phương trình 2:
\[
\begin{cases}
\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1 \\
5x - 8y = 3
\end{cases}
\]

**Bước 1: Giải phương trình thứ nhất**

Từ phương trình thứ nhất:

\[
\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1
\]

Nhân cả hai vế với 6 để loại bỏ mẫu:

\[
3x - 2y = 6
\]

**Bước 2: Giải hệ phương trình mới**

Bây giờ ta có hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
3x - 2y = 6 \\
5x - 8y = 3
\end{cases}
\]

**Bước 3: Giải phương trình thứ nhất theo y**

Từ phương trình \( 3x - 2y = 6 \):

\[
2y = 3x - 6 \\
y = \frac{3}{2}x - 3
\]

**Bước 4: Thay y vào phương trình thứ hai**

Thay \( y = \frac{3}{2}x - 3 \) vào phương trình thứ hai:

\[
5x - 8\left(\frac{3}{2}x - 3\right) = 3
\]

Giải phương trình:

\[
5x - 12x + 24 = 3 \\
-7x + 24 = 3 \\
-7x = 3 - 24 \\
-7x = -21 \\
x = 3
\]

**Bước 5: Tìm giá trị y**

Thay giá trị \( x = 3 \) vào \( y = \frac{3}{2}x - 3 \):

\[
y = \frac{3}{2} \times 3 - 3 = \frac{9}{2} - 3 = \frac{9}{2} - \frac{6}{2} = \frac{3}{2}
\]

### Kết quả hệ 2

Giải được \( x = 3 \), \( y = \frac{3}{2} \).

---

Vậy các nghiệm của hai hệ phương trình là:

1. \( x = 5, y = \frac{10}{3} \)
2. \( x = 3, y = \frac{3}{2} \)