Chúng ta có tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với \( AB = 9 \) cm và \( AC = 12 \) cm.

### 1) Tính \( BC \) và \( AH \)

Sử dụng định lý Pythagore để tính cạnh \( BC \):

\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}
\]

Tiếp theo, tính chiều cao \( AH \) từ đỉnh \( A \) xuống cạnh \( BC \). Diện tích của tam giác \( ABC \) được tính bằng hai cách:

- Từ độ dài các cạnh:
\[
\text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54 \text{ cm}^2
\]

- Từ chiều cao \( AH \) và cạnh đáy \( BC \):
\[
\text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times BC \times AH \implies 54 = \frac{1}{2} \times 15 \times AH \implies 54 = 7.5 \times AH
\]

Giải để tìm \( AH \):
\[
AH = \frac{54}{7.5} = 7.2 \text{ cm}
\]

### 2) Tia phân giác góc \( A \) cắt cạnh \( BC \) tại \( D \)

Áp dụng định lý phân giác trong, ta có:

\[
\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}
\]

Gọi \( BD = 3x \) và \( CD = 4x \). Ta có:
\[
BD + CD = BC \implies 3x + 4x = 15 \implies 7x = 15 \implies x = \frac{15}{7}
\]

Từ đó:
\[
BD = 3x = 3 \times \frac{15}{7} = \frac{45}{7} \text{ cm}
\]
\[
CD = 4x = 4 \times \frac{15}{7} = \frac{60}{7} \text{ cm}
\]

### 3) Tứ giác \( ADEF \)

Tại điểm \( D \), kẻ \( ED \) vuông góc với \( AB \) và \( DF \) vuông góc với \( AC \).

- \( ED \) vuông góc với \( AB \) tức là \( AE \) là cạnh bên của \( AB \).
- \( DF \) vuông góc với \( AC \) tức là \( AF \) là cạnh bên của \( AC \).

Vì \( AE \) vuông góc \( AB \) và \( AF \) vuông góc \( AC \), nên tứ giác \( ADEF \) có các cạnh \( AD \) và \( DE \) vuông góc với nhau. Điều này cho thấy tứ giác \( ADEF \) là một hình chữ nhật.

Tóm lại:
- \( BC = 15 \) cm
- \( AH = 7.2 \) cm
- \( BD = \frac{45}{7} \) cm
- \( CD = \frac{60}{7} \) cm
- Tứ giác \( ADEF \) là hình chữ nhật.

Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán:

### 1) Tính \( BC \) và \( AH \)

Trong tam giác vuông \( ABC \), với \( A \) là góc vuông:
- \( AB = 9 \, \text{cm} \)
- \( AC = 12 \, \text{cm} \)

#### Tính \( BC \)

Theo định lý Pythagore, ta có:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
Thay các giá trị vào:
\[
BC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225
\]
\[
BC = \sqrt{225} = 15 \, \text{cm}
\]

#### Tính \( AH \)

Ta có công thức tính chiều cao \( AH \) từ đỉnh \( A \) đến cạnh huyền \( BC \):
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]
Thay các giá trị vào:
\[
AH = \frac{9 \cdot 12}{15} = \frac{108}{15} = 7.2 \, \text{cm}
\]

### 2) Tia phân giác góc A cắt cạnh BC tại D. Tính \( BD \) và \( CD \)?

Theo định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}
\]
Gọi \( BD = 3k \) và \( CD = 4k \). Khi đó, từ thông tin \( BD + CD = BC \):
\[
3k + 4k = 15 \, \text{cm} \implies 7k = 15 \implies k = \frac{15}{7} \approx 2.14
\]

Tính \( BD \) và \( CD \):
\[
BD = 3k = 3 \cdot \frac{15}{7} = \frac{45}{7} \approx 6.43 \, \text{cm}
\]
\[
CD = 4k = 4 \cdot \frac{15}{7} = \frac{60}{7} \approx 8.57 \, \text{cm}
\]

### 3) Qua D kẻ ED vuông góc với AB, DF vuông góc với AC. Tứ giác ADEF là hình gì? Vì sao?

- Tia \( ED \) vuông góc với cạnh \( AB \) và \( DF \) vuông góc với cạnh \( AC \), nghĩa là:
- \( ED \perp AB \)
- \( DF \perp AC \)

Do đó, các cạnh \( AE \) và \( AD \) đều vuông góc với các cạnh này.

- Tứ giác \( ADEF \) có:
- \( AE \perp AB \)
- \( AD \perp AC \)

Suy ra, \( ADEF \) là hình chữ nhật. Vì trong hình chữ nhật, tất cả các góc đều bằng \( 90 \) độ và các cạnh đối diện bằng nhau, chứng tỏ tứ giác này thỏa mãn các điều kiện của một hình chữ nhật.

### Kết luận:
1. \( BC = 15 \, \text{cm}, AH = 7.2 \, \text{cm} \)
2. \( BD \approx 6.43 \, \text{cm}, CD \approx 8.57 \, \text{cm} \)
3. Tứ giác \( ADEF \) là một hình chữ nhật.