Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng bước để chứng minh các điều cần thiết.

### a) Chứng minh bốn điểm M, A, O, B thuộc cùng một đường tròn và MO vuông góc AB tại I

1. **Chứng minh bốn điểm M, A, O, B thuộc cùng một đường tròn:**
- Gọi \( O \) là tâm của đường tròn (o).
- \( MA \) và \( MB \) là các tiếp tuyến từ điểm \( M \) đến đường tròn tại \( A \) và \( B \).
- Tính chất của tiếp tuyến cho ta biết rằng góc giữa đoạn thẳng từ tâm đường tròn \( O \) đến tiếp điểm \( A \) với tiếp tuyến \( MA \) bằng 90 độ. Tương tự với tiếp điểm \( B \):
\[
\angle OMA = 90^\circ \quad \text{và} \quad \angle OMB = 90^\circ
\]
- Do đó, \( OA \) vuông góc với \( MA \) và \( OB \) vuông góc với \( MB \).
- Từ đó, ta thấy rằng ba điểm \( O, A, M \) không nằm trên một đường thẳng, và do đó, đoạn thẳng \( OA \), \( OB \), \( OM \) tạo thành một hình tứ giác.
- Ta có:
\[
OA^2 + OM^2 = MA^2 \quad \text{và} \quad OB^2 + OM^2 = MB^2
\]
- Hình tứ giác \( OAMB \) có các cặp góc đối diện bù nhau (góc tại \( M \) và \( O \)):
\[
OA^2 + OB^2 = AM^2 + BM^2 \implies M, A, O, B \text{ thuộc cùng một đường tròn.}
\]

2. **Chứng minh \( MO \) vuông góc với \( AB \) tại \( I \):**
- Gọi \( I \) là giao điểm của \( MO \) với \( AB \).
- Từ tính chất của hai tiếp tuyến, ta có \( MA = MB \), và cùng với \( OA = OB \) (bán kính).
- Hình thang \( OAMB \) không bị biến dạng, do đó \( MO \) sẽ là đường trung bình và vuông góc với \( AB \).
- Do đó, \( MO \perp AB \) tại \( I \).

### b) Chứng minh góc \( AHC = 90^\circ \) và tam giác \( M I H \) đồng dạng với tam giác \( M O C \)

1. **Chứng minh góc \( AHC = 90^\circ \)**:
- Gọi \( AC \) là đường kính của đường tròn (o), và \( H \) là giao điểm của \( MC \) với đường tròn (o).
- Theo tính chất của đường kính, ta có: góc tạo bởi một điểm nằm trên vòng tròn và hai điểm đầu mút của đường kính luôn bằng 90 độ. Vậy:
\[
\angle AHC = 90^\circ
\]

2. **Chứng minh tam giác \( M I H \) đồng dạng tam giác \( M O C \)**:
- Theo giả thiết, ta có \( \angle MIA = \angle MOC = 90^\circ \) (vì \( I \) là giao điểm của \( MO \) vuông góc với \( AB \) và \( OC \) là bán kính).
- Hơn nữa, \( MI \) là tiếp tuyến, và \( AC \) là đường kính của đường tròn \( O \), nên \( MI \parallel AC\).
- Do đó, hai tam giác \( M I H \) và \( M O C \) có một cặp góc bằng nhau (góc vuông) và một cặp góc so le trong (góc \( MIH \) và \( MOC \)):
\[
\angle M I H = \angle M O C
\]
- Từ đó, theo tiêu chí đồng dạng, ta có:
\[
\triangle M I H \sim \triangle M O C
\]

### Kết luận
Đã chứng minh được:
- M, A, O, B thuộc cùng một đường tròn.
- \( MO \perp AB \) tại I.
- \( \angle AHC = 90^\circ \).
- Tam giác \( M I H \) đồng dạng với tam giác \( M O C \).

### Phần a: Chứng minh bốn điểm M, A, O, B thuộc cùng một đường tròn

Để chứng minh rằng bốn điểm \(M\), \(A\), \(O\), \(B\) thuộc cùng một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của tiếp tuyến và định lý về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.

- **Góc MAO**: Do \(MA\) là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \(A\), nên ta có:
\[
\angle MAO = 90^\circ
\]

- **Góc MBO**: Tương tự, \(MB\) cũng là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \(B\), nên
\[
\angle MBO = 90^\circ
\]

Ở đây, \(AO\) và \(BO\) là bán kính của đường tròn. Vì vậy, ba điểm \(M\), \(A\), \(B\) đều nằm trên đường tròn có bán kính \(OA\) và \(OB\). Tuy nhiên, để chứng minh bốn điểm \(M\), \(A\), \(O\), \(B\) nằm trên cùng một đường tròn, ta chỉ cần chứng minh rằng góc \(AOB\) là một góc chắn trong đường tròn.

Xét tam giác \(AOB\):
- Tổng các góc của tứ giác \(MAOB\) là \(360^\circ\):
\[
\angle MAO + \angle MBO + \angle AOB = 90^\circ + 90^\circ + \angle AOB = 180^\circ + \angle AOB
\]
- Phần còn lại là \(O\) là điểm duy nhất trên đường tròn \(MIC\).

Bằng chứng cho thấy rằng \(MAOB\) là tứ giác nội tiếp, vậy nên cả bốn điểm thuộc cùng một đường tròn.

### Phần b: Kẻ đường kính AC của đường tròn tâm O, MC cắt đường tròn (o) tại H. Chứng minh góc AHC = 90° và tam giác MIC đồng dạng tam giác MCO.

#### Chứng minh góc \(AHC = 90^\circ\)

Khi \(H\) là điểm mà đường thẳng \(MC\) cắt đường tròn tại \(H\), thì theo định lý về góc nội tiếp trong đường tròn:
- Góc \(AHC\) là góc chắn bởi cung \(AC\), trong khi \(AC\) là đường kính của đường tròn, nên:
\[
\angle AHC = 90^\circ
\]

#### Chứng minh tam giác \(MIC\) đồng dạng với tam giác \(MCO\)

- Ta có \(MO\) vuông góc với dây \(AB\) tại điểm tiếp xúc \(I\).

Trong tam giác \(MIC\) và tam giác \(MCO\), ta có:
1. Góc \(MIC\) + góc \(MCO\) đều bằng \(90^\circ\) do \(MO\) vuông góc với \(AB\).
2. Cả hai tam giác đều có cạnh tiếp tuyến \(MC\) ở điểm chạm với đường tròn.

Do đó, ta có:
\[
\frac{MI}{MO} = \frac{MC}{MO} \quad (\text{sử dụng định nghĩa tỉ lệ cạnh tương ứng})
\]
=> Ta kết luận rằng tam giác \(MIC\) đồng dạng với tam giác \(MCO\) do hai cặp góc tương ứng bằng nhau.

### Kết luận

Ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán về thỏa mãn các điều kiện của mỗi phần trên.