Để giải phương trình vô tỷ sau:

\[
\sqrt{x} - 2\sqrt{x - 2} - 1 = \sqrt{x - 2} - 1
\]

ta có thể thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Đưa các hạng tử có chứa căn về một bên

Nhóm các hạng tử chứa căn bậc hai về cùng một bên của phương trình:

\[
\sqrt{x} - 2\sqrt{x - 2} - 1 = \sqrt{x - 2} - 1
\]

Chuyển hạng tử \(\sqrt{x - 2}\) sang bên trái:

\[
\sqrt{x} - 2\sqrt{x - 2} - 1 - \sqrt{x - 2} = -1
\]

Rút gọn:

\[
\sqrt{x} - 3\sqrt{x - 2} = 0
\]

### Bước 2: Đặt ẩn phụ

Đặt \( t = \sqrt{x - 2} \). Khi đó, \( \sqrt{x} = \sqrt{t^2 + 2} \). Thay vào phương trình:

\[
\sqrt{t^2 + 2} - 3t = 0
\]

### Bước 3: Bình phương hai vế để loại bỏ căn

Bình phương cả hai bên:

\[
(\sqrt{t^2 + 2})^2 = (3t)^2
\]
\[
t^2 + 2 = 9t^2
\]

Rút gọn:

\[
t^2 + 2 = 9t^2
\]
\[
2 = 8t^2
\]
\[
t^2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}
\]
\[
t = \pm \frac{1}{2}
\]

### Bước 4: Tìm giá trị của \(x\)

- Nếu \( t = \frac{1}{2} \):
\[
\sqrt{x - 2} = \frac{1}{2} \implies x - 2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
\]
\[
x = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4}
\]

- Nếu \( t = -\frac{1}{2} \), thì \(\sqrt{x - 2} = -\frac{1}{2}\) là không hợp lệ vì căn bậc hai không thể âm.

### Kiểm tra lại giá trị \(x = \frac{9}{4}\)

Thay giá trị \(x = \frac{9}{4}\) vào phương trình gốc:

\[
\sqrt{\frac{9}{4}} - 2\sqrt{\frac{9}{4} - 2} - 1 = \sqrt{\frac{9}{4} - 2} - 1
\]
\[
\frac{3}{2} - 2\sqrt{\frac{1}{4}} - 1 = \sqrt{\frac{1}{4}} - 1
\]
\[
\frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2} - 1
\]
\[
\frac{3}{2} - 1 - 1 = \frac{1}{2} - 1
\]
\[
\frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\]

Giá trị \(x = \frac{9}{4}\) thỏa mãn phương trình.

### Kết luận

Nghiệm của phương trình là \(x = \frac{9}{4}\).

Chúng ta sẽ giải các phương trình vô tỷ sau:

### Bài 1
\[ \sqrt{x - 2 \sqrt{x - 2} - 1} = \sqrt{x - 2} - 1 \]

Đặt \( y = \sqrt{x - 2} \). Khi đó, phương trình trở thành:
\[ \sqrt{y^2 - 2y - 1} = y - 1 \]

Bình phương hai vế để loại bỏ căn bậc hai:
\[ y^2 - 2y - 1 = (y - 1)^2 \]

Khai triển vế phải:
\[ y^2 - 2y - 1 = y^2 - 2y + 1 \]

Trừ \( y^2 - 2y \) ở hai vế:
\[ -1 = 1 \]

Đây là một mâu thuẫn. Do đó, phương trình không có nghiệm thực.

### Bài 2
\[ x^2 + \sqrt{x + 1} = 1 \]

Đặt \( z = \sqrt{x + 1} \). Khi đó \( z^2 = x + 1 \). Thay \( x = z^2 - 1 \) vào phương trình, ta được:
\[ (z^2 - 1)^2 + z = 1 \]

Khai triển và rút gọn:
\[ z^4 - 2z^2 + 1 + z = 1 \]

Trừ 1 ở hai vế:
\[ z^4 - 2z^2 + z = 0 \]

Đặt nhân tử chung \( z \):
\[ z(z^3 - 2z + 1) = 0 \]

Điều này cho chúng ta hai trường hợp cần giải:

1. \( z = 0 \)
2. \( z^3 - 2z + 1 = 0 \)

Với \( z = 0 \):
\[ \sqrt{x + 1} = 0 \]
\[ x + 1 = 0 \]
\[ x = -1 \]

Với \( z^3 - 2z + 1 = 0 \):

Chúng ta cần tìm nghiệm thực của phương trình bậc ba. Thử nghiệm một số giá trị có thể hoặc sử dụng phương pháp số, ta thấy rằng \( z = 1 \) là một nghiệm (vì \( 1^3 - 2 \cdot 1 + 1 = 0 \)).

Do đó, thay \( z = 1 \):
\[ \sqrt{x + 1} = 1 \]
\[ x + 1 = 1 \]
\[ x = 0 \]

Vậy các nghiệm của phương trình thứ hai là \( x = -1 \) và \( x = 0 \).

Để giải các phương trình vô tỷ, chúng ta cần áp dụng các phương pháp đặc thù như bình phương hai vế để loại bỏ dấu căn và sau đó giải phương trình bậc cao hơn. Dưới đây là cách giải chi tiết cho từng phương trình:

### Phương Trình 1:
\[
\sqrt{x} - 2 \sqrt{x - 2} - 1 = \sqrt{x - 2} - 1
\]

**Bước 1: Rút gọn và biến đổi phương trình**

Cộng \(\sqrt{x - 2} + 1\) vào cả hai vế:

\[
\sqrt{x} - 2 \sqrt{x - 2} - 1 + \sqrt{x - 2} + 1 = \sqrt{x - 2} - 1 + \sqrt{x - 2} + 1
\]

\[
\sqrt{x} - \sqrt{x - 2} = 2 \sqrt{x - 2}
\]

**Bước 2: Bình phương hai vế để loại bỏ căn**

\[
(\sqrt{x} - \sqrt{x - 2})^2 = (2 \sqrt{x - 2})^2
\]

\[
x - 2 \sqrt{x} \sqrt{x - 2} + (x - 2) = 4 (x - 2)
\]

\[
x - 2 \sqrt{x} \sqrt{x - 2} + x - 2 = 4x - 8
\]

**Bước 3: Rút gọn**

\[
2x - 2 \sqrt{x} \sqrt{x - 2} - 2 = 4x - 8
\]

\[
-2 \sqrt{x} \sqrt{x - 2} = 2x - 6
\]

\[
\sqrt{x} \sqrt{x - 2} = -x + 3
\]

**Bước 4: Bình phương một lần nữa**

\[
(\sqrt{x} \sqrt{x - 2})^2 = (-x + 3)^2
\]

\[
x (x - 2) = (x - 3)^2
\]

\[
x^2 - 2x = x^2 - 6x + 9
\]

\[
-2x = -6x + 9
\]

\[
4x = 9
\]

\[
x = \frac{9}{4}
\]

**Bước 5: Kiểm tra nghiệm**

Thay \(x = \frac{9}{4}\) vào phương trình gốc để kiểm tra:

\[
\sqrt{\frac{9}{4}} - 2 \sqrt{\frac{9}{4} - 2} - 1 = \sqrt{\frac{9}{4} - 2} - 1
\]

\[
\frac{3}{2} - 2 \sqrt{\frac{1}{4}} - 1 = \sqrt{\frac{1}{4}} - 1
\]

\[
\frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2} - 1
\]

\[
\frac{3}{2} - 1 - 1 = \frac{1}{2} - 1
\]

\[
\frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\]

Nghiệm \(x = \frac{9}{4}\) thỏa mãn phương trình.

### Phương Trình 2:
\[
x^2 + \sqrt{x + 1} = 1
\]

**Bước 1: Rút gọn và biến đổi phương trình**

Chuyển \(x^2\) sang vế bên phải:

\[
\sqrt{x + 1} = 1 - x^2
\]

**Bước 2: Bình phương hai vế để loại bỏ căn**

\[
(\sqrt{x + 1})^2 = (1 - x^2)^2
\]

\[
x + 1 = (1 - x^2)^2
\]

**Bước 3: Mở rộng bình phương**

\[
(1 - x^2)^2 = 1 - 2x^2 + x^4
\]

\[
x + 1 = 1 - 2x^2 + x^4
\]

**Bước 4: Rút gọn phương trình**

\[
x + 1 = 1 - 2x^2 + x^4
\]

\[
x = -2x^2 + x^4
\]

\[
x^4 - 2x^2 - x = 0
\]

**Bước 5: Giải phương trình bậc 4**

Nhóm các hạng tử:

\[
x(x^3 - 2x - 1) = 0
\]

**Nghiệm \(x = 0\):**

Thay vào phương trình gốc:

\[
0^2 + \sqrt{0 + 1} = 1
\]

\[
\sqrt{1} = 1
\]

Điều này đúng, nên \(x = 0\) là một nghiệm.

**Giải phương trình bậc ba \(x^3 - 2x - 1 = 0\):**

Có thể kiểm tra nghiệm \(x = 1\):

\[
1^3 - 2 \cdot 1 - 1 = 1 - 2 - 1 = -2
\]

Do đó, nghiệm \(x = 1\) không thỏa mãn phương trình.

**Kết Luận:**

- Phương trình 1 có nghiệm \(x = \frac{9}{4}\).
- Phương trình 2 có nghiệm \(x = 0\).