### Rút gọn biểu thức A

Cho biểu thức:

$A = \sin^6 x + \cot^6 x + \sin^4 x + \cos^4 x + 5 \sin^2 x \cos^2 x$

Ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức này.

#### Bước 1: Rút gọn $\cot^6 x$

$\cot^6 x = \left( \frac{\cos x}{\sin x} \right)^6 = \frac{\cos^6 x}{\sin^6 x}$

#### Bước 2: Nhóm và sử dụng các công thức lượng giác

Ta biết các công thức cơ bản sau:

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$

Và:

$\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) = 1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x$

#### Bước 3: Sử dụng các công thức trên vào biểu thức $A$

Thay vào biểu thức ban đầu:

$A = \sin^6 x + \cot^6 x + \sin^4 x + \cos^4 x + 5 \sin^2 x \cos^2 x$

$= \sin^6 x + \frac{\cos^6 x}{\sin^6 x} + \sin^4 x + \cos^4 x + 5 \sin^2 x \cos^2 x$

Ta thấy rằng việc rút gọn thêm có vẻ phức tạp và có thể không cần thiết cho việc đơn giản hóa tối đa.

### Rút gọn biểu thức B

Cho biểu thức:

$B = \sin^2 1^\circ + \sin^2 2^\circ + \sin^2 5^\circ + \ldots + \sin^2 88^\circ + \sin^2 89^\circ$

Sử dụng công thức:

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

Ta có:

$B = \sum_{k=1}^{89} \sin^2 k^\circ = \sum_{k=1}^{89} \frac{1 - \cos 2k^\circ}{2}$

Chia tổng thành hai phần:

$B = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{89} 1 - \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{89} \cos 2k^\circ$

Phần đầu:

$\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{89} 1 = \frac{1}{2} \cdot 89 = \frac{89}{2}$

Phần thứ hai:

$\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{89} \cos 2k^\circ$

Do các giá trị của $\cos$ đối xứng qua 90°, tổng các $\cos$ sẽ triệt tiêu nhau, dẫn đến tổng của chúng bằng 0:

$\sum_{k=1}^{89} \cos 2k^\circ = 0$

Vậy biểu thức B rút gọn:

$B = \frac{89}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{89}{2} = 44.5$

### Kết luận:

$B = 44.5$

### Rút gọn biểu thức A

Cho biểu thức:

A=sin6x+cot6x+sin4x+cos4x+5sin2xcos2x𝐴=sin6⁡𝑥+cot6⁡𝑥+sin4⁡𝑥+cos4⁡𝑥+5sin2⁡𝑥cos2⁡𝑥

Ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức này.

#### Bước 1: Rút gọn cot6xcot6⁡𝑥

cot6x=(cosxsinx)6=cos6xsin6xcot6⁡𝑥=(cos⁡𝑥sin⁡𝑥)6=cos6⁡𝑥sin6⁡𝑥

#### Bước 2: Nhóm và sử dụng các công thức lượng giác

Ta biết các công thức cơ bản sau:

sin2x+cos2x=1sin2⁡𝑥+cos2⁡𝑥=1

sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2−2sin2xcos2x=1−2sin2xcos2xsin4⁡𝑥+cos4⁡𝑥=(sin2⁡𝑥+cos2⁡𝑥)2−2sin2⁡𝑥cos2⁡𝑥=1−2sin2⁡𝑥cos2⁡𝑥

Và:

sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x−sin2xcos2x+cos4x)=1−3sin2xcos2xsin6⁡𝑥+cos6⁡𝑥=(sin2⁡𝑥+cos2⁡𝑥)(sin4⁡𝑥−sin2⁡𝑥cos2⁡𝑥+cos4⁡𝑥)=1−3sin2⁡𝑥cos2⁡𝑥

#### Bước 3: Sử dụng các công thức trên vào biểu thức A𝐴

Thay vào biểu thức ban đầu:

A=sin6x+cot6x+sin4x+cos4x+5sin2xcos2x𝐴=sin6⁡𝑥+cot6⁡𝑥+sin4⁡𝑥+cos4⁡𝑥+5sin2⁡𝑥cos2⁡𝑥

=sin6x+cos6xsin6x+sin4x+cos4x+5sin2xcos2x=sin6⁡𝑥+cos6⁡𝑥sin6⁡𝑥+sin4⁡𝑥+cos4⁡𝑥+5sin2⁡𝑥cos2⁡𝑥

Ta thấy rằng việc rút gọn thêm có vẻ phức tạp và có thể không cần thiết cho việc đơn giản hóa tối đa.

### Rút gọn biểu thức B

Cho biểu thức:

B=sin21∘+sin22∘+sin25∘+…+sin288∘+sin289∘𝐵=sin2⁡1∘+sin2⁡2∘+sin2⁡5∘+…+sin2⁡88∘+sin2⁡89∘

Sử dụng công thức:

sin2x=1−cos2x2sin2⁡𝑥=1−cos⁡2𝑥2

Ta có:

B=∑89k=1sin2k∘=∑89k=11−cos2k∘2𝐵=∑𝑘=189sin2⁡𝑘∘=∑𝑘=1891−cos⁡2𝑘∘2

Chia tổng thành hai phần:

B=12∑89k=11−12∑89k=1cos2k∘𝐵=12∑𝑘=1891−12∑𝑘=189cos⁡2𝑘∘

Phần đầu:

12∑89k=11=12⋅89=89212∑𝑘=1891=12⋅89=892

Phần thứ hai:

12∑89k=1cos2k∘12∑𝑘=189cos⁡2𝑘∘

Do các giá trị của coscos đối xứng qua 90°, tổng các coscos sẽ triệt tiêu nhau, dẫn đến tổng của chúng bằng 0:

∑89k=1cos2k∘=0∑𝑘=189cos⁡2𝑘∘=0

Vậy biểu thức B rút gọn:

B=892−12⋅0=892=44.5𝐵=892−12⋅0=892=44.5

### Kết luận:

B=44.5