Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo từng bước.

### a) Rút gọn biểu thức \( Q \)

Biểu thức đã cho là:

\[
Q = \frac{\left( \frac{1}{x} - \sqrt{x} + \sqrt{x} + \frac{1}{x} - 1 \right)}{\sqrt{x} + 1} \cdot (\sqrt{x} - 1)^2
\]

1. **Rút gọn phần tử trong dấu ngoặc**:
\[
\frac{1}{x} - \sqrt{x} + \sqrt{x} + \frac{1}{x} - 1 = \frac{2}{x} - 1
\]

Vậy \( Q \) trở thành:
\[
Q = \frac{\frac{2}{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \cdot (\sqrt{x} - 1)^2
\]

2. **Rút gọn \((\sqrt{x} - 1)^2\)**:
\[
(\sqrt{x} - 1)^2 = x - 2\sqrt{x} + 1
\]

3. **Vì vậy, ta có**:
\[
Q = \frac{\frac{2}{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \cdot (x - 2\sqrt{x} + 1)
\]

4. **Rút gọn**:
Ta có thể nhân các phần tử lại với nhau, nhưng để đơn giản hóa, ta có thể để dạng trên.

### Kết quả rút gọn:
\[
Q = \frac{(2 - x)(x - 2\sqrt{x} + 1)}{x(\sqrt{x} + 1)}
\]

---

### b) Tìm \( x \) biết \( \sqrt{Q^2} = Q \)

Điều này có nghĩa là \( Q \geq 0 \). Do đó, ta cần \( Q = 0 \) hoặc \( Q > 0 \).

1. **Khi \( Q = 0 \)**:
\[
\frac{(2 - x)(x - 2\sqrt{x} + 1)}{x(\sqrt{x} + 1)} = 0
\]

Vậy \( 2 - x = 0 \) hoặc \( x - 2\sqrt{x} + 1 = 0 \):
- Từ \( 2 - x = 0 \) ta có \( x = 2 \).

- Từ \( x - 2\sqrt{x} + 1 = 0 \):
\[
\sqrt{x} = t \implies t^2 - 2t + 1 = 0 \implies (t - 1)^2 = 0 \implies t = 1 \implies x = 1
\]

2. **Các nghiệm là**:
- \( x = 1 \) và \( x = 2 \)

### c) Tìm \( x \) biết \( \sqrt{Q^2} = -Q \)

Điều này chỉ xảy ra khi \( Q < 0 \).

1. **Từ \( Q < 0 \)**, ta có:
\[
\frac{(2 - x)(x - 2\sqrt{x} + 1)}{x(\sqrt{x} + 1)} < 0
\]

2. **Xét dấu**:
- \( 2 - x < 0 \) khi \( x > 2 \)
- \( x - 2\sqrt{x} + 1 < 0 \): Giải phương trình \( x - 2\sqrt{x} + 1 = 0 \) ta có:
\[
\sqrt{x} = t \implies t^2 - 2t + 1 = 0 \implies (t - 1)^2 = 0 \implies t = 1 \implies x = 1
\]
Phương trình này có nghiệm \( x = 1 \), và \( x - 2\sqrt{x} + 1 < 0 \) khi \( x < 1 \).

3. **Kết luận**:
- Kết hợp các điều kiện:
- \( x > 2 \) và \( x < 1 \) không có giá trị nào thỏa mãn.

### Kết quả cuối cùng:

- a) \( Q = \frac{(2 - x)(x - 2\sqrt{x} + 1)}{x(\sqrt{x} + 1)} \)
- b) Nghiệm: \( x = 1 \) và \( x = 2 \)
- c) Không có giá trị nào thỏa mãn.

...Xem thêm

Answer 2

Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo từng bước.

### a) Rút gọn biểu thức \( Q \)

Biểu thức đã cho là:

\[
Q = \frac{\left( \frac{1}{x} - \sqrt{x} + \sqrt{x} + \frac{1}{x} - 1 \right)}{\sqrt{x} + 1} \cdot (\sqrt{x} - 1)^2
\]

1. **Rút gọn phần tử trong dấu ngoặc**:
\[
\frac{1}{x} - \sqrt{x} + \sqrt{x} + \frac{1}{x} - 1 = \frac{2}{x} - 1
\]

Vậy \( Q \) trở thành:
\[
Q = \frac{\frac{2}{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \cdot (\sqrt{x} - 1)^2
\]

2. **Rút gọn \((\sqrt{x} - 1)^2\)**:
\[
(\sqrt{x} - 1)^2 = x - 2\sqrt{x} + 1
\]

3. **Vì vậy, ta có**:
\[
Q = \frac{\frac{2}{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \cdot (x - 2\sqrt{x} + 1)
\]

4. **Rút gọn**:
Ta có thể nhân các phần tử lại với nhau, nhưng để đơn giản hóa, ta có thể để dạng trên.

### Kết quả rút gọn:
\[
Q = \frac{(2 - x)(x - 2\sqrt{x} + 1)}{x(\sqrt{x} + 1)}
\]

---

### b) Tìm \( x \) biết \( \sqrt{Q^2} = Q \)

Điều này có nghĩa là \( Q \geq 0 \). Do đó, ta cần \( Q = 0 \) hoặc \( Q > 0 \).

1. **Khi \( Q = 0 \)**:
\[
\frac{(2 - x)(x - 2\sqrt{x} + 1)}{x(\sqrt{x} + 1)} = 0
\]

Vậy \( 2 - x = 0 \) hoặc \( x - 2\sqrt{x} + 1 = 0 \):
- Từ \( 2 - x = 0 \) ta có \( x = 2 \).

- Từ \( x - 2\sqrt{x} + 1 = 0 \):
\[
\sqrt{x} = t \implies t^2 - 2t + 1 = 0 \implies (t - 1)^2 = 0 \implies t = 1 \implies x = 1
\]

2. **Các nghiệm là**:
- \( x = 1 \) và \( x = 2 \)

### c) Tìm \( x \) biết \( \sqrt{Q^2} = -Q \)

Điều này chỉ xảy ra khi \( Q < 0 \).

1. **Từ \( Q < 0 \)**, ta có:
\[
\frac{(2 - x)(x - 2\sqrt{x} + 1)}{x(\sqrt{x} + 1)} < 0
\]

2. **Xét dấu**:
- \( 2 - x < 0 \) khi \( x > 2 \)
- \( x - 2\sqrt{x} + 1 < 0 \): Giải phương trình \( x - 2\sqrt{x} + 1 = 0 \) ta có:
\[
\sqrt{x} = t \implies t^2 - 2t + 1 = 0 \implies (t - 1)^2 = 0 \implies t = 1 \implies x = 1
\]
Phương trình này có nghiệm \( x = 1 \), và \( x - 2\sqrt{x} + 1 < 0 \) khi \( x < 1 \).

3. **Kết luận**:
- Kết hợp các điều kiện:
- \( x > 2 \) và \( x < 1 \) không có giá trị nào thỏa mãn.

### Kết quả cuối cùng:

- a) \( Q = \frac{(2 - x)(x - 2\sqrt{x} + 1)}{x(\sqrt{x} + 1)} \)
- b) Nghiệm: \( x = 1 \) và \( x = 2 \)
- c) Không có giá trị nào thỏa mãn.

Answer 3

Nghiệm: x=1và x=2
Không có giá trị nào thỏa mãn.

Answer 4

a) Rút gọn biểu thức Q:

\[Q = \left( \frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} \right) \div \frac{\sqrt{x} + 1}{\left( \sqrt{x} - 1 \right)^2}\]

\[\frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} = \frac{1 \cdot (x - 1) + (\sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{ x})}{(x - \sqrt{x})(x - 1)}\]

\[1 \cdot (x - 1) + (\sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{ x}) = x - 1 + x \sqrt{x} - x^{1/2} + \sqrt{x} - x = x - 1 + (\sqrt{x} + 1 - 1) \sqrt{x} = x - 1 + \sqrt{x} = x \sqrt{x} - 1\]

\[\frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} = \frac{x - 1 + x \sqrt{x} - x^\frac{1}{2} + \sqrt{x} - x}{(x - \sqrt{x})(x - 1)} = \frac{x - 1 + x \sqrt{x} - x^2 }{(x - \sqrt{x})(x - 1)}\]

\[Q = \frac{(x - \sqrt{ x}) + (\sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x})}{(x - \sqrt{x})(x - 1)}\]

b) Tìm \( x \) biết \(\sqrt{Q^2} = Q\):

\(\sqrt{Q^2} = Q\) khi và chỉ khi \( Q \geq 0 \). Do đó:

\[Q \geq 0\]

c) Tìm \( x \) biết \(\sqrt{Q^2} = -Q\):

\(\sqrt{Q^2} = -Q\) khi và chỉ khi \( Q \leq 0\). Do đó:

\[Q \leq 0\]