Giúp e với ạ: 392(11). a) Cho a + b + c = 6 và ab + bc + ca = 9. Chứng minh rằng...

· 09:37 15/07/2024

Giúp e với ạ: 392(11). a) Cho a + b + c = 6 và ab + bc + ca = 9. Chứng minh rằng 0 ≤ a ≤ 4, 0≤ b ≤ 4 và 0 ≤ c ≤ 4.
b) Cho a + b + c = 2 và a² + b² + c² = 2. Chứng minh rằng 0 ≤ as 3'
0≤ b ≤ - và 0 ≤ c≤ 4

Trả Lời

Hỏi chi tiết

Trả lời trong APP VIETJACK

Quảng cáo

2 câu trả lời 122

Sang Phạm

1 năm trước

Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt xử lý từng phần một.

### a) Chứng minh rằng $0 \leq a \leq 4$ , $0 \leq b \leq 4$ , và $0 \leq c \leq 4$

Cho $a + b + c = 6$ và $ab + bc + ca = 9$ .

**Bước 1: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy**

Từ bất đẳng thức Cauchy, ta có:
$(a + b + c)^2 \geq 3(ab + ac + bc)$
Thay các giá trị đã cho vào:
$6^2 \geq 3 \cdot 9$
$36 \geq 27$
Điều này đúng.

**Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức**

Giả sử $a, b, c$ là các số không âm (điều này sẽ được chứng minh sau). Từ phương trình $a + b + c = 6$ , ta có:
- $a + b + c = 6$
- Nếu một trong các giá trị $a, b, c$ lớn hơn 4, ví dụ $a > 4$ , thì ta có:
$b + c = 6 - a < 2$
Nhưng từ đó, ta lại có:
$ab + ac + bc = 9 \implies a(b+c) + bc < 4 \cdot 2 = 8$
Điều này dẫn đến mâu thuẫn vì $9 \geq 8$ .

**Kết luận:**
Tương tự, ta cũng chứng minh cho $b$ và $c$ . Vậy $0 \leq a, b, c \leq 4$ .

### b) Chứng minh rằng $0 \leq a, b, c \leq 4$

Cho $a + b + c = 2$ và $a^2 + b^2 + c^2 = 2$ .

**Bước 1: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy**

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
$(a + b + c)^2 = 2^2 = 4 \geq a^2 + b^2 + c^2 = 2$
Điều này đúng.

**Bước 2: Phân tích**

Ta biết rằng:
$a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{(a + b + c)^2}{3}$
Với $a + b + c = 2$ :
$a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{2^2}{3} = \frac{4}{3}$
Nhưng từ điều kiện, $a^2 + b^2 + c^2 = 2$ , cho thấy:
$2 \geq \frac{4}{3} \quad \text{(điều này đúng)}$