Để giải bài toán sau:

\[
\left( 1 + \frac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} \right) \left( 2 - \frac{a - \sqrt{a}}{a - 1} \right)
\]

ta cần thực hiện các bước biến đổi như sau:

### Bước 1: Biến đổi biểu thức đầu tiên
\[
1 + \frac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1}
\]

Ta đặt \( t = \sqrt{a} \), do đó \( a = t^2 \). Thay vào ta được:
\[
1 + \frac{t^2 + t}{t + 1}
\]

Ta phân tích:
\[
\frac{t^2 + t}{t + 1} = t + 1 \quad (\text{vì } t^2 + t = t(t + 1))
\]

Do đó, biểu thức đầu tiên trở thành:
\[
1 + (t + 1) = 1 + t + 1 = t + 2
\]

Quay lại biến \( t \) về \( \sqrt{a} \), ta có:
\[
\sqrt{a} + 2
\]

### Bước 2: Biến đổi biểu thức thứ hai
\[
2 - \frac{a - \sqrt{a}}{a - 1}
\]

Tương tự, ta đặt \( t = \sqrt{a} \), do đó \( a = t^2 \). Thay vào ta được:
\[
2 - \frac{t^2 - t}{t^2 - 1}
\]

Ta phân tích:
\[
t^2 - 1 = (t - 1)(t + 1)
\]

Do đó:
\[
\frac{t^2 - t}{t^2 - 1} = \frac{t(t - 1)}{(t - 1)(t + 1)} = \frac{t}{t + 1}
\]

Biểu thức thứ hai trở thành:
\[
2 - \frac{t}{t + 1}
\]

Chúng ta có thể viết lại:
\[
2 - \frac{t}{t + 1} = \frac{2(t + 1) - t}{t + 1} = \frac{2t + 2 - t}{t + 1} = \frac{t + 2}{t + 1}
\]

### Bước 3: Tính toán tích hai biểu thức
Biểu thức đầu tiên là \( \sqrt{a} + 2 \) và biểu thức thứ hai là \( \frac{\sqrt{a} + 2}{\sqrt{a} + 1} \).

Do đó, tích hai biểu thức là:
\[
(\sqrt{a} + 2) \left( \frac{\sqrt{a} + 2}{\sqrt{a} + 1} \right)
\]

Biểu thức này rút gọn lại thành:
\[
\frac{(\sqrt{a} + 2)^2}{\sqrt{a} + 1}
\]

### Bước 4: Phân tích kết quả
\[
(\sqrt{a} + 2)^2 = a + 4\sqrt{a} + 4
\]

Vậy:
\[
\frac{a + 4\sqrt{a} + 4}{\sqrt{a} + 1}
\]

### Bước 5: Rút gọn
Ta thực hiện phép chia đa thức:
\[
\frac{a + 4\sqrt{a} + 4}{\sqrt{a} + 1} = a + 4\sqrt{a} + 4
\]

Để phân tích thêm và đơn giản hơn, ta có thể thay các giá trị cụ thể của \( a \) và \( \sqrt{a} \).