Để giải bài toán sau:

$\left( 1 + \frac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} \right) \left( 2 - \frac{a - \sqrt{a}}{a - 1} \right)$

ta cần thực hiện các bước biến đổi như sau:

### Bước 1: Biến đổi biểu thức đầu tiên
$1 + \frac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1}$

Ta đặt $t = \sqrt{a}$, do đó $a = t^2$. Thay vào ta được:
$1 + \frac{t^2 + t}{t + 1}$

Ta phân tích:
$\frac{t^2 + t}{t + 1} = t + 1 \quad (\text{vì } t^2 + t = t(t + 1))$

Do đó, biểu thức đầu tiên trở thành:
$1 + (t + 1) = 1 + t + 1 = t + 2$

Quay lại biến $t$ về $\sqrt{a}$, ta có:
$\sqrt{a} + 2$

### Bước 2: Biến đổi biểu thức thứ hai
$2 - \frac{a - \sqrt{a}}{a - 1}$

Tương tự, ta đặt $t = \sqrt{a}$, do đó $a = t^2$. Thay vào ta được:
$2 - \frac{t^2 - t}{t^2 - 1}$

Ta phân tích:
$t^2 - 1 = (t - 1)(t + 1)$

Do đó:
$\frac{t^2 - t}{t^2 - 1} = \frac{t(t - 1)}{(t - 1)(t + 1)} = \frac{t}{t + 1}$

Biểu thức thứ hai trở thành:
$2 - \frac{t}{t + 1}$

Chúng ta có thể viết lại:
$2 - \frac{t}{t + 1} = \frac{2(t + 1) - t}{t + 1} = \frac{2t + 2 - t}{t + 1} = \frac{t + 2}{t + 1}$

### Bước 3: Tính toán tích hai biểu thức
Biểu thức đầu tiên là $\sqrt{a} + 2$ và biểu thức thứ hai là $\frac{\sqrt{a} + 2}{\sqrt{a} + 1}$.

Do đó, tích hai biểu thức là:
$(\sqrt{a} + 2) \left( \frac{\sqrt{a} + 2}{\sqrt{a} + 1} \right)$

Biểu thức này rút gọn lại thành:
$\frac{(\sqrt{a} + 2)^2}{\sqrt{a} + 1}$

### Bước 4: Phân tích kết quả
$(\sqrt{a} + 2)^2 = a + 4\sqrt{a} + 4$

Vậy:
$\frac{a + 4\sqrt{a} + 4}{\sqrt{a} + 1}$

### Bước 5: Rút gọn
Ta thực hiện phép chia đa thức:
$\frac{a + 4\sqrt{a} + 4}{\sqrt{a} + 1} = a + 4\sqrt{a} + 4$

Để phân tích thêm và đơn giản hơn, ta có thể thay các giá trị cụ thể của $a$ và $\sqrt{a}$.