a) Vì $MN$ là đường cao trong tam giác $ACM$, nên ta có:

$CH^2 = CM.CA$

Mặt khác, ta có

$BM.BC = BN^2 - NC^2 = AN.AM - CM.CA$

Vậy

$BM.BC + CH^2 = AN.AM \Leftrightarrow \frac{BM.BC}{AM.AN} + \frac{CH^2}{AM.AN} = 1$

Theo định lí Ptolemy ứng dụng cho tứ giác $ACMH$ ta có: 

$AM.CH + HM.AC = CM.AH$

$\Leftrightarrow \frac{CH^2}{AM.AN} = \frac{AM.HM}{AN.AH}$

Do đó,

$\frac{BM.BC}{AM.AN} + \frac{CH^2}{AM.AN} = 1 \Leftrightarrow \frac{BM.BC}{AM.AN} + \frac{AM.HM}{AN.AH} = 1$

Tứ giác $ACMH$ nội tiếp do có hai góc đối nhau:

$\widehat{ACM} = \widehat{AHM} = 90^{\circ}$

Suy ra:

$\widehat{AMH} = \widehat{MCB}$

Hay 

$\widehat{HMC} = \widehat{HBC}$ 

Vậy ta có:

$\frac{CH}{BC} = \frac{HM}{BM}$

$BM.BC = BN^2 - NC^2 = AN.AM - CM.CA$0

Như vậy:

$BM.BC = BN^2 - NC^2 = AN.AM - CM.CA$1

Kết hợp hai công thức trên, suy ra $BM.BC + CH^2 = AN.AM$, tức là tứ giác $ACMH$ nội tiếp, và $CHM = CBN$ (do hai tam giác $CHM$ và $CBN$ có cùng chiều cao $CH$ và đáy chung $CB$).

b) Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Ta có $R^2 = AM.BM = AN.BN = CM.BC = CI^2 + IM^2$.

Từ đó:

$BM.BC = BN^2 - NC^2 = AN.AM - CM.CA$2

Do $AM.BN + AN.BM = AB.MN = R^2 - OM^2$, ta có:

$BM.BC = BN^2 - NC^2 = AN.AM - CM.CA$3

Thay $BM.BC$ bằng $AN.AM - CM.CA = AN.AM - OM^2$ và suy ra đpcm.

a) Vì MN$��$ là đường cao trong tam giác ACM$���$, nên ta có:

$CH^2 = CM.CA$

Mặt khác, ta có

$BM.BC = BN^2 - NC^2 = AN.AM - CM.CA$

Vậy

$BM.BC + CH^2 = AN.AM \Leftrightarrow \frac{BM.BC}{AM.AN} + \frac{CH^2}{AM.AN} = 1$

Theo định lí Ptolemy ứng dụng cho tứ giác ACMH$����$ ta có: 

$AM.CH + HM.AC = CM.AH$

$\Leftrightarrow \frac{CH^2}{AM.AN} = \frac{AM.HM}{AN.AH}$

Do đó,

$\frac{BM.BC}{AM.AN} + \frac{CH^2}{AM.AN} = 1 \Leftrightarrow \frac{BM.BC}{AM.AN} + \frac{AM.HM}{AN.AH} = 1$

Tứ giác ACMH$����$ nội tiếp do có hai góc đối nhau:

$���$0

Suy ra:

$���$1

Hay 

$���$2 

Vậy ta có:

$���$3

$BM.BC = BN^2 - NC^2 = AN.AM - CM.CA$0

Như vậy:

$BM.BC = BN^2 - NC^2 = AN.AM - CM.CA$1

Kết hợp hai công thức trên, suy ra BM.BC+CH2=AN.AM$���$6, tức là tứ giác ACMH$����$ nội tiếp, và CHM=CBN$���$8 (do hai tam giác CHM$���$ và CBN$���$ có cùng chiều cao CH$��$ và đáy chung CB$��$).

b) Gọi I$CH^2 = CM.CA$3 là trung điểm của AB$��$. Ta có R2=AM.BM=AN.BN=CM.BC=CI2+IM2$CH^2 = CM.CA$5.

Từ đó:

$BM.BC = BN^2 - NC^2 = AN.AM - CM.CA$2

Do AM.BN+AN.BM=AB.MN=R2−OM2$CH^2 = CM.CA$7, ta có:

$BM.BC = BN^2 - NC^2 = AN.AM - CM.CA$3

Thay BM.BC$CH^2 = CM.CA$9 bằng AN.AM−CM.CA=AN.AM−OM2$BM.BC = BN^2 - NC^2 = AN.AM - CM.CA$0 và suy ra đpcm.