Cho ΔABC nội tiếp (O) có trực tâm H. Gọi N,P là trung điểm AC,AB. Đường thẳng (d1) qua N⊥HN cắt AB tại K. Đường thẳng (d2) qua P⊥HP cắt AC tại L. Đường thẳng (d1) cắt đường thẳng (d2) tại điểm X. Gọi XKX′L là hình bình hành. Chứng minh: ¯A,H,X′.
⇒ hóng nhân tài Toán Hình
Quảng cáo
2 câu trả lời 474
Tham Khảo !
1. Theo giả thiết F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC => I là trung điểm BC và HE => BHCF là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường .
2. (HD) Tứ giác AB'HC' nội tiếp => ÐBAC + ÐB'HC' = 1800 mà
ÐBHC = ÐB'HC' (đối đỉnh) => ÐBAC + ÐBHC = 1800. Theo trên BHCF là hình bình hành => ÐBHC = ÐBFC =>ÐBFC + ÐBAC = 1800
=> Tứ giác ABFC nội tiếp => F thuộc (O).
* H và E đối xứng nhau qua BC => DBHC = DBEC (c.c.c) => ÐBHC = ÐBEC => Ð BEC + ÐBAC = 1800 => ABEC nội tiếp => E thuộc (O) .
3. Ta có H và E đối xứng nhau qua BC => BC ^ HE (1) và IH = IE mà I là trung điểm của của HF
=> EI = 1/2 HE => tam giác HEF vuông tại E hay FE ^ HE (2)
Từ (1) và (2) => EF // BC => BEFC là hình thang. (3)
Theo trên E Î(O) => ÐCBE = ÐCAE ( nội tiếp cùng chắn cung CE) (4).
Theo trên F Î(O) và ÐFEA =900 => AF là đường kính của (O) => ÐACF = 900 => ÐBCF = ÐCAE
( vì cùng phụ ÐACB) (5).
Từ (4) và (5) => ÐBCF = ÐCBE (6).
Từ (3) và (6) => tứ giác BEFC là hình thang cân.
4. Theo trên AF là đường kính của (O) => O là trung điểm của AF; BHCF là hình bình hành => I là trung điểm của HF => OI là đường trung bình của tam giác AHF => OI = 1/ 2 AH.
Theo giả thiết I là trung điểm của BC => OI ^ BC ( Quan hệ đường kính và dây cung) => ÐOIG = ÐHAG (vì so le trong); lại có ÐOGI = Ð HGA (đối đỉnh) => DOGI ~ DHGA =>
mà OI =
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
102042
-
Hỏi từ APP VIETJACK66834
-
55572
-
45855
-
40424
-
30538