Nhận xét : Bài toán 1, phân số 1/4 và 1/6 là hai phân số có tử số bằng 1. Nếu ta thay hai phân số này bởi hai phân số có tử số bằng nhau, chẳng hạn 3/4 và 3/6 thì vẫn đưa được về bàI toán 1. Vậy khi tử số của hai phân số khác nhau thì ta cần quy đồng tử số.
            Bài toán 2 : Hai số có tổng là 230. Biết 3/4 số thứ nhất bằng 2/5 số thứ hai. Tìm hai số đó.
            Phân tích : Bài toán này không vẽ sơ đồ ngay như bài toán 1 được vì và không cùng tử số. Vậy để đưa bài toán này về dạng bài toán 1 ta phải chuyển 3/4 và 2/5 về hai phân số cùng tử số (quy đồng tử số).
Ta có : 3/4 = 6/8; 2/5 = 6/15. Vậy 3/4 số thứ nhất bằng 2/5 số thứ hai hay 6/8 số thứ nhất bằng 6/15 số thứ hai. Do đó 1/8 số thứ nhất bằng 1/15 số thứ hai. Đến đây bài toán hoàn toàn tương tự bài toán 1.
Giải : 3/4 số thứ nhất bằng 2/5 số thứ hai hay 6/8 số thứ nhất bằng 6/15 số thứ hai. Do đó 1/8 số thứ nhất bằng 1/15 số thứ hai nên số thứ nhất chia làm 8 phần bằng nhau thì số thứ hai gồm 15 phần như thế. Ta có sơ đồ :
 
        Số thứ nhất là : 230 : (8 + 15) x 8 = 80
        Số thứ hai là : 230 - 80 = 150
        Đáp số : Số thứ nhất : 80 ; Số thứ hai : 150.
Ta có thể thay đổi gi thiết để bài toán có thêm các bước tính nữa mới trở về dạng bài toán 2. Ta xét bài toán sau :
            Bài toán 3 : Hai số có tổng là 230. Nếu bớt số thứ nhất đi 1/4 của nó và bớt số thứ hai đi 3/5 của nó thì được hai số mới bằng nhau. Tìm hai số ban đầu.
            Phân tích : Từ giả thiết ta thấy 1- 1/4 = 3/4 (số thứ nhất) đúng bằng 1- 3/5 = 2/5 (số thứ hai). Do đó bàI toán trở về bàI toán 2
Bây giờ ta xét tình huống phức tạp hơn
            Bài toán 4 : Tổng hai số bằng 104. Tìm hai số đó biết rằng 1/4 số thứ nhất kém 1/6 số thứ hai là 4 đơn vị.
        Giải: 1/4 số thứ nhất cộng thêm 4 đơn vị thì bằng 1/6 số thứ hai nên số thứ hai chia làm 6 phần bằng nhau thì mỗi phần chính là 1/4 số thứ nhất cộng thêm 4 đơn vị.
        Ta có sơ đồ :
 

            Bài toán 5 : Ba tấm vi dài 105 m. Nếu cắt đi 1/9 tấm vải thứ nhất,3/7 tấm vải thứ hai và 1/3 tấm vải thứ ba thì phần còn lại của ba tấm vải bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi tấm vải dài bao nhiêu mét ?
                

            Khi học về phân số các em được làm quen với nhiều bài toán có lời văn mà khi giải phải chuyển chúng về dạng toán điển hình. Trong bài viết này tôi xin trao đổi về một dạng toán như thế thông qua một số ví dụ sau :
            Ví dụ 1 : Tìm một phân số biết rằng nếu nhân tử số của phân số đó với 2, giữ nguyên mẫu số thì ta được một phân số mới hơn phân số ban đầu là 7/36.
            Phân tích : Ta đã biết nhân một phân số với số tự nhiên ta chỉ việc nhân tử của phân số với số tự nhiên đó và giữ nguyên mẫu số. Vậy nhân tử số của phân số với 2, giữ nguyên mẫu số tức là ta gấp phân số đó lên 2 lần. Bài toán được chuyển về bài toán tìm hai số biết hiệu và tỉ.
            Bài giải : Nếu nhân tử số của phân số đó với 2, giữ nguyên mẫu số ta được phân số mới. Vậy phân số mới gấp 2 lần phân số ban đầu, ta có sơ đồ :
 
            Ví dụ 2 : Tìm một phân số biết rằng nếu ta chia mẫu số của phân số đó cho 3, giữ nguyên tử số thì giá trị của phân số tăng lên 14/9.
            Phân tích : Phân số là một phép chia mà tử số là số bị chia, mẫu số là số chia. Khi chia mẫu số cho 3, giữ nguyên tử số tức là ta giảm số chia đi 3 lần nên thương gấp lên 3 lần hay giá trị của phân số đó gấp lên 3 lần. Do đó phân số mới gấp 3 lần phân số ban đầu. Bài toán chuyển về dạng tìm hai số biết hiệu và tỉ.
            Bài giải : Khi chia mẫu của phân số cho 3, giữ nguyên tử số thì ta được phân số mới nên phân số mới gấp 3 lần phân số ban đầu, ta có sơ đồ :
 
            Ví dụ 3 : An nghĩ ra một phân số. An nhân tử số của phân số đó với 2, đồng thời chia mẫu số của phân số đó cho 3 thì An được một phân số mới. Biết tổng của phân số mới và phân số ban đầu là 35/9. Tìm phân số An nghĩ.
            Phân tích : Khi nhân tử số của phân số với 2, giữ nguyên mẫu số thì phân số đó gấp lên 2 lần. Khi chia mẫu số của phân số cho 3, giữ nguyên tử số thì phân số đó gấp lên 3 lần. Vậy khi nhân tử số của phân số với 2 đồng thời chia mẫu số của phân số cho 3 thì phân số đó gấp lên 2 x 3 = 6 (lần). Bài toán được chuyển về dạng toán điển hình tìm 2 số biết tổng và tỉ.
            Bài giải : Khi nhân tử số của phân số An nghĩ với 2 đồng thời chia mẫu số của phân số đó cho 3 thì được phân số mới. Vậy phân số mới gấp phân số ban đầu số lần là : 2 x 3 = 6 (lần), ta có sơ đồ :
 
        Từ 3 ví dụ trên ta rút ra một nhận xét như sau :
Một phân số :
- Nếu ta tăng (hoặc giảm) tử số bao nhiêu lần và giữ nguyên mẫu số thì phân số đó tăng (hoặc giảm) bấy nhiêu lần.
- Nếu ta giảm (hoặc tăng) mẫu số bao nhiêu lần và giữ nguyên tử số thì phân số đó tăng (hoặc giảm) bấy nhiêu lần.

Nhận xét : Bài toán 1, phân số 1/4 và 1/6 là hai phân số có tử số bằng 1. Nếu ta thay hai phân số này bởi hai phân số có tử số bằng nhau, chẳng hạn 3/4 và 3/6 thì vẫn đưa được về bàI toán 1. Vậy khi tử số của hai phân số khác nhau thì ta cần quy đồng tử số.
            Bài toán 2 : Hai số có tổng là 230. Biết 3/4 số thứ nhất bằng 2/5 số thứ hai. Tìm hai số đó.
            Phân tích : Bài toán này không vẽ sơ đồ ngay như bài toán 1 được vì và không cùng tử số. Vậy để đưa bài toán này về dạng bài toán 1 ta phải chuyển 3/4 và 2/5 về hai phân số cùng tử số (quy đồng tử số).
Ta có : 3/4 = 6/8; 2/5 = 6/15. Vậy 3/4 số thứ nhất bằng 2/5 số thứ hai hay 6/8 số thứ nhất bằng 6/15 số thứ hai. Do đó 1/8 số thứ nhất bằng 1/15 số thứ hai. Đến đây bài toán hoàn toàn tương tự bài toán 1.
Giải : 3/4 số thứ nhất bằng 2/5 số thứ hai hay 6/8 số thứ nhất bằng 6/15 số thứ hai. Do đó 1/8 số thứ nhất bằng 1/15 số thứ hai nên số thứ nhất chia làm 8 phần bằng nhau thì số thứ hai gồm 15 phần như thế. Ta có sơ đồ :
 
        Số thứ nhất là : 230 : (8 + 15) x 8 = 80
        Số thứ hai là : 230 - 80 = 150
        Đáp số : Số thứ nhất : 80 ; Số thứ hai : 150.
Ta có thể thay đổi gi thiết để bài toán có thêm các bước tính nữa mới trở về dạng bài toán 2. Ta xét bài toán sau :
            Bài toán 3 : Hai số có tổng là 230. Nếu bớt số thứ nhất đi 1/4 của nó và bớt số thứ hai đi 3/5 của nó thì được hai số mới bằng nhau. Tìm hai số ban đầu.
            Phân tích : Từ giả thiết ta thấy 1- 1/4 = 3/4 (số thứ nhất) đúng bằng 1- 3/5 = 2/5 (số thứ hai). Do đó bàI toán trở về bàI toán 2
Bây giờ ta xét tình huống phức tạp hơn
            Bài toán 4 : Tổng hai số bằng 104. Tìm hai số đó biết rằng 1/4 số thứ nhất kém 1/6 số thứ hai là 4 đơn vị.
        Giải: 1/4 số thứ nhất cộng thêm 4 đơn vị thì bằng 1/6 số thứ hai nên số thứ hai chia làm 6 phần bằng nhau thì mỗi phần chính là 1/4 số thứ nhất cộng thêm 4 đơn vị.
        Ta có sơ đồ :
 

            Bài toán 5 : Ba tấm vi dài 105 m. Nếu cắt đi 1/9 tấm vải thứ nhất,3/7 tấm vải thứ hai và 1/3 tấm vải thứ ba thì phần còn lại của ba tấm vải bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi tấm vải dài bao nhiêu mét ?
                

            Khi học về phân số các em được làm quen với nhiều bài toán có lời văn mà khi giải phải chuyển chúng về dạng toán điển hình. Trong bài viết này tôi xin trao đổi về một dạng toán như thế thông qua một số ví dụ sau :
            Ví dụ 1 : Tìm một phân số biết rằng nếu nhân tử số của phân số đó với 2, giữ nguyên mẫu số thì ta được một phân số mới hơn phân số ban đầu là 7/36.
            Phân tích : Ta đã biết nhân một phân số với số tự nhiên ta chỉ việc nhân tử của phân số với số tự nhiên đó và giữ nguyên mẫu số. Vậy nhân tử số của phân số với 2, giữ nguyên mẫu số tức là ta gấp phân số đó lên 2 lần. Bài toán được chuyển về bài toán tìm hai số biết hiệu và tỉ.
            Bài giải : Nếu nhân tử số của phân số đó với 2, giữ nguyên mẫu số ta được phân số mới. Vậy phân số mới gấp 2 lần phân số ban đầu, ta có sơ đồ :
 
            Ví dụ 2 : Tìm một phân số biết rằng nếu ta chia mẫu số của phân số đó cho 3, giữ nguyên tử số thì giá trị của phân số tăng lên 14/9.
            Phân tích : Phân số là một phép chia mà tử số là số bị chia, mẫu số là số chia. Khi chia mẫu số cho 3, giữ nguyên tử số tức là ta giảm số chia đi 3 lần nên thương gấp lên 3 lần hay giá trị của phân số đó gấp lên 3 lần. Do đó phân số mới gấp 3 lần phân số ban đầu. Bài toán chuyển về dạng tìm hai số biết hiệu và tỉ.
            Bài giải : Khi chia mẫu của phân số cho 3, giữ nguyên tử số thì ta được phân số mới nên phân số mới gấp 3 lần phân số ban đầu, ta có sơ đồ :
 
            Ví dụ 3 : An nghĩ ra một phân số. An nhân tử số của phân số đó với 2, đồng thời chia mẫu số của phân số đó cho 3 thì An được một phân số mới. Biết tổng của phân số mới và phân số ban đầu là 35/9. Tìm phân số An nghĩ.
            Phân tích : Khi nhân tử số của phân số với 2, giữ nguyên mẫu số thì phân số đó gấp lên 2 lần. Khi chia mẫu số của phân số cho 3, giữ nguyên tử số thì phân số đó gấp lên 3 lần. Vậy khi nhân tử số của phân số với 2 đồng thời chia mẫu số của phân số cho 3 thì phân số đó gấp lên 2 x 3 = 6 (lần). Bài toán được chuyển về dạng toán điển hình tìm 2 số biết tổng và tỉ.
            Bài giải : Khi nhân tử số của phân số An nghĩ với 2 đồng thời chia mẫu số của phân số đó cho 3 thì được phân số mới. Vậy phân số mới gấp phân số ban đầu số lần là : 2 x 3 = 6 (lần), ta có sơ đồ :
 
        Từ 3 ví dụ trên ta rút ra một nhận xét như sau :
Một phân số :
- Nếu ta tăng (hoặc giảm) tử số bao nhiêu lần và giữ nguyên mẫu số thì phân số đó tăng (hoặc giảm) bấy nhiêu lần.
- Nếu ta giảm (hoặc tăng) mẫu số bao nhiêu lần và giữ nguyên tử số thì phân số đó tăng (hoặc giảm) bấy nhiêu lần.

Nhận xét : Bài toán 1, phân số 1/4 và 1/6 là hai phân số có tử số bằng 1. Nếu ta thay hai phân số này bởi hai phân số có tử số bằng nhau, chẳng hạn 3/4 và 3/6 thì vẫn đưa được về bàI toán 1. Vậy khi tử số của hai phân số khác nhau thì ta cần quy đồng tử số.
            Bài toán 2 : Hai số có tổng là 230. Biết 3/4 số thứ nhất bằng 2/5 số thứ hai. Tìm hai số đó.
            Phân tích : Bài toán này không vẽ sơ đồ ngay như bài toán 1 được vì và không cùng tử số. Vậy để đưa bài toán này về dạng bài toán 1 ta phải chuyển 3/4 và 2/5 về hai phân số cùng tử số (quy đồng tử số).
Ta có : 3/4 = 6/8; 2/5 = 6/15. Vậy 3/4 số thứ nhất bằng 2/5 số thứ hai hay 6/8 số thứ nhất bằng 6/15 số thứ hai. Do đó 1/8 số thứ nhất bằng 1/15 số thứ hai. Đến đây bài toán hoàn toàn tương tự bài toán 1.
Giải : 3/4 số thứ nhất bằng 2/5 số thứ hai hay 6/8 số thứ nhất bằng 6/15 số thứ hai. Do đó 1/8 số thứ nhất bằng 1/15 số thứ hai nên số thứ nhất chia làm 8 phần bằng nhau thì số thứ hai gồm 15 phần như thế. Ta có sơ đồ :
 
        Số thứ nhất là : 230 : (8 + 15) x 8 = 80
        Số thứ hai là : 230 - 80 = 150
        Đáp số : Số thứ nhất : 80 ; Số thứ hai : 150.
Ta có thể thay đổi gi thiết để bài toán có thêm các bước tính nữa mới trở về dạng bài toán 2. Ta xét bài toán sau :
            Bài toán 3 : Hai số có tổng là 230. Nếu bớt số thứ nhất đi 1/4 của nó và bớt số thứ hai đi 3/5 của nó thì được hai số mới bằng nhau. Tìm hai số ban đầu.
            Phân tích : Từ giả thiết ta thấy 1- 1/4 = 3/4 (số thứ nhất) đúng bằng 1- 3/5 = 2/5 (số thứ hai). Do đó bàI toán trở về bàI toán 2
Bây giờ ta xét tình huống phức tạp hơn
            Bài toán 4 : Tổng hai số bằng 104. Tìm hai số đó biết rằng 1/4 số thứ nhất kém 1/6 số thứ hai là 4 đơn vị.
        Giải: 1/4 số thứ nhất cộng thêm 4 đơn vị thì bằng 1/6 số thứ hai nên số thứ hai chia làm 6 phần bằng nhau thì mỗi phần chính là 1/4 số thứ nhất cộng thêm 4 đơn vị.
        Ta có sơ đồ :
 

            Bài toán 5 : Ba tấm vi dài 105 m. Nếu cắt đi 1/9 tấm vải thứ nhất,3/7 tấm vải thứ hai và 1/3 tấm vải thứ ba thì phần còn lại của ba tấm vải bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi tấm vải dài bao nhiêu mét ?
                

            Khi học về phân số các em được làm quen với nhiều bài toán có lời văn mà khi giải phải chuyển chúng về dạng toán điển hình. Trong bài viết này tôi xin trao đổi về một dạng toán như thế thông qua một số ví dụ sau :
            Ví dụ 1 : Tìm một phân số biết rằng nếu nhân tử số của phân số đó với 2, giữ nguyên mẫu số thì ta được một phân số mới hơn phân số ban đầu là 7/36.
            Phân tích : Ta đã biết nhân một phân số với số tự nhiên ta chỉ việc nhân tử của phân số với số tự nhiên đó và giữ nguyên mẫu số. Vậy nhân tử số của phân số với 2, giữ nguyên mẫu số tức là ta gấp phân số đó lên 2 lần. Bài toán được chuyển về bài toán tìm hai số biết hiệu và tỉ.
            Bài giải : Nếu nhân tử số của phân số đó với 2, giữ nguyên mẫu số ta được phân số mới. Vậy phân số mới gấp 2 lần phân số ban đầu, ta có sơ đồ :
 
            Ví dụ 2 : Tìm một phân số biết rằng nếu ta chia mẫu số của phân số đó cho 3, giữ nguyên tử số thì giá trị của phân số tăng lên 14/9.
            Phân tích : Phân số là một phép chia mà tử số là số bị chia, mẫu số là số chia. Khi chia mẫu số cho 3, giữ nguyên tử số tức là ta giảm số chia đi 3 lần nên thương gấp lên 3 lần hay giá trị của phân số đó gấp lên 3 lần. Do đó phân số mới gấp 3 lần phân số ban đầu. Bài toán chuyển về dạng tìm hai số biết hiệu và tỉ.
            Bài giải : Khi chia mẫu của phân số cho 3, giữ nguyên tử số thì ta được phân số mới nên phân số mới gấp 3 lần phân số ban đầu, ta có sơ đồ :
 
            Ví dụ 3 : An nghĩ ra một phân số. An nhân tử số của phân số đó với 2, đồng thời chia mẫu số của phân số đó cho 3 thì An được một phân số mới. Biết tổng của phân số mới và phân số ban đầu là 35/9. Tìm phân số An nghĩ.
            Phân tích : Khi nhân tử số của phân số với 2, giữ nguyên mẫu số thì phân số đó gấp lên 2 lần. Khi chia mẫu số của phân số cho 3, giữ nguyên tử số thì phân số đó gấp lên 3 lần. Vậy khi nhân tử số của phân số với 2 đồng thời chia mẫu số của phân số cho 3 thì phân số đó gấp lên 2 x 3 = 6 (lần). Bài toán được chuyển về dạng toán điển hình tìm 2 số biết tổng và tỉ.
            Bài giải : Khi nhân tử số của phân số An nghĩ với 2 đồng thời chia mẫu số của phân số đó cho 3 thì được phân số mới. Vậy phân số mới gấp phân số ban đầu số lần là : 2 x 3 = 6 (lần), ta có sơ đồ :
 
        Từ 3 ví dụ trên ta rút ra một nhận xét như sau :
Một phân số :
- Nếu ta tăng (hoặc giảm) tử số bao nhiêu lần và giữ nguyên mẫu số thì phân số đó tăng (hoặc giảm) bấy nhiêu lần.
- Nếu ta giảm (hoặc tăng) mẫu số bao nhiêu lần và giữ nguyên tử số thì phân số đó tăng (hoặc giảm) bấy nhiêu lần.