Trong Toán học cấp THCS và THPT ở Việt Nam, các dạng bài nâng cao về hàm số bậc nhất và bậc hai thường xoay quanh việc ứng dụng các tính chất của đồ thị, giá trị lớn nhất/nhỏ nhất, mối quan hệ giữa hàm số và phương trình/bất phương trình, cũng như các bài toán thực tế.

Dưới đây là một số dạng bài nâng cao và hướng dẫn giải:

I. Dạng bài nâng cao về Hàm số bậc nhất (y=ax+b, a=0)

1. Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng thỏa mãn tính chất nào đó:

Dạng bài: Cho đường thẳng y=(m−1)x+m+2. Tìm m để:

a) Đường thẳng đi qua một điểm cố định.
b) Đường thẳng song song/vuông góc với đường thẳng khác.
c) Đường thẳng cắt trục tung/hoành tại điểm có tọa độ xác định.
d) Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đạt giá trị lớn nhất/nhỏ nhất.
e) Đường thẳng tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích/chu vi xác định.
Hướng dẫn giải:

a) Đi qua điểm cố định: Gọi điểm cố định là (x0​,y0​). Thay (x0​,y0​) vào phương trình hàm số. Biến đổi phương trình về dạng Am+B=0. Để phương trình nghiệm đúng với mọi m, thì A=0 và B=0. Giải hệ phương trình này để tìm x0​,y0​.
b) Song song/Vuông góc:

Song song (d1​//d2​): a1​=a2​ và b1​=b2​.
Vuông góc (d1​⊥d2​): a1​⋅a2​=−1.
c) Cắt trục tung/hoành:

Cắt trục tung tại điểm có tung độ y0​: x=0⇒y=b=y0​.
Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x0​: y=0⇒ax+b=0⇒x=−b/a=x0​.
d) Khoảng cách từ gốc tọa độ: Gọi A=(−b/a,0) và B=(0,b) là giao điểm của đường thẳng với trục hoành và trục tung. Tam giác OAB là tam giác vuông tại O. Khoảng cách từ O đến đường thẳng chính là chiều cao h của tam giác OAB ứng với cạnh huyền AB. Ta có 1/h2=1/OA2+1/OB2. Thay OA=∣−b/a∣ và OB=∣b∣ vào rồi tìm GTLN/GTNN.
e) Diện tích/chu vi tam giác: Diện tích S=21​OA⋅OB=21​∣−b/a∣⋅∣b∣. Chu vi P=OA+OB+AB=∣−b/a∣+∣b∣+(−b/a)2+b2 ​. Thiết lập phương trình theo m và giải.
2. Bài toán về ba điểm thẳng hàng:

Dạng bài: Cho ba điểm A(xA​,yA​), B(xB​,yB​), C(xC​,yC​). Tìm điều kiện của tham số để ba điểm này thẳng hàng.
Hướng dẫn giải:

Cách 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B (hoặc A và C, B và C). Sau đó thay tọa độ điểm còn lại vào phương trình đường thẳng vừa tìm được.
Cách 2: Hai đường thẳng AB và AC (hoặc BA và BC) có cùng hệ số góc. Tức là (yB​−yA​)/(xB​−xA​)=(yC​−yA​)/(xC​−xA​). Lưu ý trường hợp xB​=xA​ hoặc xC​=xA​.
3. Bài toán thực tế liên quan đến hàm số bậc nhất:

Dạng bài: Các bài toán về giá thành, quãng đường-thời gian, sản xuất, tiêu thụ... mà mối quan hệ giữa các đại lượng là tuyến tính.
Hướng dẫn giải: Lập phương trình hàm số y=ax+b từ dữ kiện đề bài (xác định a và b). Sau đó sử dụng hàm số để tính toán hoặc dự đoán.

 

II. Dạng bài nâng cao về Hàm số bậc hai (y=ax2+bx+c, a=0)
 

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (khi có tham số):

Dạng bài: Cho hàm số y=x2−2(m−1)x+m2. Tìm m để đồ thị có đỉnh nằm trên đường thẳng y=x+1.
Hướng dẫn giải:

Tìm tọa độ đỉnh I của parabol: xI​=−b/(2a), yI​=−Δ/(4a) hoặc thay xI​ vào hàm số.
Thay tọa độ đỉnh I vào phương trình đường thẳng đã cho để tìm m.
2. Tìm điều kiện của tham số để parabol thỏa mãn tính chất nào đó:

Dạng bài: Cho parabol (P):y=x2−(m+1)x+m.

a) Cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1​,x2​ thỏa mãn điều kiện x12​+x22​=5.
b) Tiếp xúc với đường thẳng y=x+1.
c) Luôn cắt đường thẳng y=mx+k tại hai điểm phân biệt.
d) Parabol đi qua một điểm cố định.
Hướng dẫn giải:

a) Cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt:

Điều kiện: Phương trình x2−(m+1)x+m=0 có hai nghiệm phân biệt ⇔Δ>0.
Áp dụng định lý Vi-ét: x1​+x2​=m+1 và x1​x2​=m.
Biến đổi biểu thức x12​+x22​=(x1​+x2​)2−2x1​x2​ rồi thay Vi-ét vào để giải m.
b) Tiếp xúc với đường thẳng: Lập phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng: ax2+bx+c=kx+h. Chuyển vế thành phương trình bậc hai Ax2+Bx+C=0. Điều kiện tiếp xúc là Δ=0.
c) Luôn cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt: Tương tự, lập phương trình hoành độ giao điểm. Điều kiện Δ>0 với mọi giá trị của tham số. Có thể dùng định lý về dấu của tam thức bậc hai (luôn dương) hoặc phân tích thành bình phương.
d) Điểm cố định: Tương tự hàm bậc nhất, gọi (x0​,y0​) là điểm cố định. Thay vào phương trình và nhóm các hạng tử chứa tham số, rồi cho hệ số của tham số và phần còn lại bằng 0.
3. Bài toán về giá trị lớn nhất (GTLN) / giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số bậc hai:

Dạng bài: Tìm GTLN/GTNN của hàm số y=ax2+bx+c trên một đoạn [x1​,x2​] hoặc trên toàn trục số.
Hướng dẫn giải:

Trên toàn trục số:

Nếu a>0: Hàm số có GTNN tại đỉnh ymin​=yI​.
Nếu a<0: Hàm số có GTLN tại đỉnh ymax​=yI​.
Trên đoạn [x1​,x2​]:

Tính tọa độ đỉnh xI​.
Trường hợp 1: Nếu xI​∈[x1​,x2​], thì GTLN/GTNN là giá trị lớn nhất/nhỏ nhất trong ba giá trị y(xI​), y(x1​), y(x2​).
Trường hợp 2: Nếu xI​∈/[x1​,x2​], thì GTLN/GTNN chỉ nằm ở hai đầu mút của đoạn, tức là max(y(x1​),y(x2​)) và min(y(x1​),y(x2​)).
Ứng dụng vào bài toán thực tế: Chuyển bài toán về việc tìm GTLN/GTNN của một hàm số bậc hai.
4. Bài toán liên quan đến định lý Vi-ét và các biểu thức đối xứng:

Dạng bài: Cho phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 có hai nghiệm x1​,x2​. Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa x1​,x2​ hoặc tìm điều kiện của tham số để biểu thức đó đạt GTLN/GTNN.
Hướng dẫn giải:

Đảm bảo Δ≥0 để có nghiệm.
Sử dụng định lý Vi-ét: x1​+x2​=−b/a và x1​x2​=c/a.
Biến đổi biểu thức cần tính toán về dạng chỉ chứa tổng và tích của x1​,x2​.
Ví dụ: x12​+x22​=(x1​+x2​)2−2x1​x2​; x13​+x23​=(x1​+x2​)3−3x1​x2​(x1​+x2​), v.v.

Ví dụ minh họa chi tiết (một bài khó):

Bài toán: Cho hàm số y=x2−2(m−1)x+m2−3m+4. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1​,x2​ sao cho biểu thức A=∣x1​x2​−(x1​+x2​)∣ đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt: Phương trình hoành độ giao điểm: x2−2(m−1)x+m2−3m+4=0. Để có hai nghiệm phân biệt, Δ′>0. Δ′=(−(m−1))2−1⋅(m2−3m+4) =(m−1)2−(m2−3m+4) =m2−2m+1−m2+3m−4 =m−3. Để có hai nghiệm phân biệt, m−3>0⇒m>3.
Áp dụng định lý Vi-ét: x1​+x2​=−(−2(m−1))/1=2(m−1). x1​x2​=(m2−3m+4)/1=m2−3m+4.
Biến đổi biểu thức A: A=∣x1​x2​−(x1​+x2​)∣ A=∣(m2−3m+4)−2(m−1)∣ A=∣m2−3m+4−2m+2∣ A=∣m2−5m+6∣.
Tìm GTLN của A trên miền m>3: Ta cần tìm GTLN của hàm số f(m)=m2−5m+6 với m>3. Parabol g(m)=m2−5m+6 có đỉnh tại mI​=−(−5)/(2⋅1)=5/2=2.5. Vì 2.5<3, và nhánh parabol quay lên (a=1>0), hàm số f(m) sẽ đồng biến trên khoảng (3,+∞). Do đó, khi m→+∞, f(m)→+∞. Biểu thức A=∣f(m)∣ cũng sẽ tiến đến vô cùng. Điều này có nghĩa là biểu thức A không có giá trị lớn nhất trên miền m>3.

Kiểm tra lại đề bài hoặc giả định đề bài có khoảng giới hạn cho m, hoặc là tìm GTNN. Nếu đề bài hỏi GTNN của A, thì: f(m)=m2−5m+6=(m−2)(m−3). Khi m>3, thì m−2>1 và m−3>0. Do đó f(m)=(m−2)(m−3)>0. Vậy A=m2−5m+6. Vì f(m) đồng biến trên (3,+∞), nên khi m càng gần 3, giá trị của f(m) càng nhỏ. Tuy nhiên, m=3 không thỏa mãn điều kiện Δ>0. Vậy A không có GTNN trên (3,+∞), nhưng giá trị của A có thể "tiến gần" đến 0 khi m→3+.

Kết luận: Với dạng bài này, nếu không có giới hạn trên cho m, thì biểu thức A không có giá trị lớn nhất. Có thể đề bài muốn tìm giá trị nhỏ nhất hoặc có một điều kiện ẩn nào đó.

Các dạng bài nâng cao thường đòi hỏi sự kết hợp nhiều kiến thức, biến đổi đại số linh hoạt, và đôi khi là tư duy về đồ thị hàm số. Quan trọng là nắm vững lý thuyết cơ bản và luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài khác nhau.