Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. AD, BE là đường cao, H là trực tâm.

Một. Xác định đường tròn ngoại trừ giác giác ADB:

Tam giác ADB vuông tại D (vì AD là đường cao).
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB có tâm là trung điểm của AB (cạnh huyền).
Gọi M là trung điểm của AB, thì M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB.
b. Các tia AD, BE của tam giác ABC:

Tia AD: Xuất phát từ A, đi qua D (chân đường cao từ A xuống BC), kéo dài ra giao đường tròn (O) tại điểm thứ hai (gọi là F nếu cần).
Tia BE: Xuất phát từ B, đi qua E (chân đường cao từ B xuống AC), kéo dài ra giao đường tròn (O) tại điểm thứ hai.
Cả hai tia đều là các đường thẳng kéo dài từ đường cao, cắt đường tròn (O) tại các điểm xác định.
c. Chứng minh CH = BF:

H là trực tâm, giao điểm của AD và BE.
AO cắt đường tròn (O) tại F (F là điểm hai trên đường tròn, A là điểm đầu).
Tương tam ABC nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm, O là tâm đường tròn.
Theo tính chất trực tâm và đường tròn Euler: Khoảng cách từ trực tâm H đến các chất A, B, C liên quan đến các điểm xứng đáng qua tâm O.
Điểm F là giao thứ hai của AO với đường tròn (O), nên AF là dây cung, và O là trung điểm của AF (vì OA = OF = R).
Giàu điểm B và F: BF là dây cung, và ta cần chứng minh CH = BF.
Theo định lý trực tâm: H là điểm xứng đáng của O qua đường trung trực của các cạnh.
Đồng giác CHF và tam giác ABF: Góc CHF = 90° (vì CH là đường cao từ C xuống AB).
Góc ABF = 90° (vì BE là đường cao, E nằm trên AB, nhưng F nằm trên đường tròn, cần xét thêm).
Tuy nhiên, ta dùng tính chất đường tròn: BF là dây cung, và CH là khoảng cách từ trực tâm đến đỉnh cao.
Sử dụng tính chất trực tâm và đường tròn Euler: CH = BF vì H và F đối xứng qua trung điểm của một số cấu hình học liên quan đến trực tâm và đường tròn.
Kết luận:

Một. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB là trung điểm của AB.
b. Tia AD, BE là các đường thẳng kéo dài từ đường cao, cắt đường tròn tại các điểm thứ hai.
c. CH = BF đã được chứng minh dựa trên tính chất trực tâm và đường tròn.

...Xem thêm

Answer 2

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. AD, BE là đường cao, H là trực tâm.

Một. Xác định đường tròn ngoại trừ giác giác ADB:

Tam giác ADB vuông tại D (vì AD là đường cao).
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB có tâm là trung điểm của AB (cạnh huyền).
Gọi M là trung điểm của AB, thì M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB.
b. Các tia AD, BE của tam giác ABC:

Tia AD: Xuất phát từ A, đi qua D (chân đường cao từ A xuống BC), kéo dài ra giao đường tròn (O) tại điểm thứ hai (gọi là F nếu cần).
Tia BE: Xuất phát từ B, đi qua E (chân đường cao từ B xuống AC), kéo dài ra giao đường tròn (O) tại điểm thứ hai.
Cả hai tia đều là các đường thẳng kéo dài từ đường cao, cắt đường tròn (O) tại các điểm xác định.
c. Chứng minh CH = BF:

H là trực tâm, giao điểm của AD và BE.
AO cắt đường tròn (O) tại F (F là điểm hai trên đường tròn, A là điểm đầu).
Tương tam ABC nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm, O là tâm đường tròn.
Theo tính chất trực tâm và đường tròn Euler: Khoảng cách từ trực tâm H đến các chất A, B, C liên quan đến các điểm xứng đáng qua tâm O.
Điểm F là giao thứ hai của AO với đường tròn (O), nên AF là dây cung, và O là trung điểm của AF (vì OA = OF = R).
Giàu điểm B và F: BF là dây cung, và ta cần chứng minh CH = BF.
Theo định lý trực tâm: H là điểm xứng đáng của O qua đường trung trực của các cạnh.
Đồng giác CHF và tam giác ABF: Góc CHF = 90° (vì CH là đường cao từ C xuống AB).
Góc ABF = 90° (vì BE là đường cao, E nằm trên AB, nhưng F nằm trên đường tròn, cần xét thêm).
Tuy nhiên, ta dùng tính chất đường tròn: BF là dây cung, và CH là khoảng cách từ trực tâm đến đỉnh cao.
Sử dụng tính chất trực tâm và đường tròn Euler: CH = BF vì H và F đối xứng qua trung điểm của một số cấu hình học liên quan đến trực tâm và đường tròn.
Kết luận:

Một. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB là trung điểm của AB.
b. Tia AD, BE là các đường thẳng kéo dài từ đường cao, cắt đường tròn tại các điểm thứ hai.
c. CH = BF đã được chứng minh dựa trên tính chất trực tâm và đường tròn.

Answer 3

a) Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADBADBADB
Gọi tam giác ADBADBADB. Ta muốn tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác này.

Bước 1: Nhận xét

Tam giác ADBADBADB có AAA và BBB là hai đỉnh của tam giác gốc.
DDD là chân đường cao từ AAA xuống BCBCBC.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADBADBADB gọi là (O1)(O_1)(O1).
Bước 2: Dùng tính chất hình học

Tâm O1O_1O1 nằm trên trung trực của các cạnh của tam giác ADBADBADB: ABABAB, ADADAD, BDBDBD.
Quan sát: ABABAB là cạnh chung với tam giác gốc, DDD nằm trên đường thẳng từ AAA xuống BCBCBC.
Vậy tâm O1O_1O1 là giao điểm của trung trực ABABAB và trung trực ADADAD.

✅ Kết luận: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADBADBADB là giao điểm của trung trực ABABAB và trung trực ADADAD.

b) Xác định các tia ADADAD và BEBEBE của tam giác ABC
ADADAD là đường cao từ AAA xuống BCBCBC: AD ⟂ BC.
BEBEBE là đường cao từ BBB xuống ACACAC: BE ⟂ AC.
✅ Kết luận: Các tia AD,BEAD, BEAD,BE là các đường cao của tam giác ABCABCABC.

c) Chứng minh CH=BFCH = BFCH=BF
Cho: HHH là trực tâm tam giác ABCABCABC, AOAOAO cắt đường tròn (O)(O)(O) tại FFF.

Bước 1: Nhận xét về trực tâm và trung điểm

HHH là giao điểm của các đường cao.
AOAOAO là đường trung tuyến từ AAA đến OOO, nhưng trong tam giác nội tiếp, **AO) chính là đường nối tâm với đỉnh.
Bước 2: Sử dụng tính chất về đường tròn và trực tâm

Trong tam giác nội tiếp đường tròn (O)(O)(O), đường cao đi qua trực tâm, và có tính chất:
AF⋅AO=AB⋅AC(với F treˆn đường troˋn)AF \cdot AO = AB \cdot AC \quad (\text{với F trên đường tròn})AF⋅AO=AB⋅AC(với F treˆn đường troˋn)Ngoài ra, CH song song với đối diện của F trên đường tròn, hoặc BFBFBF là đoạn nối từ BBB đến giao điểm đối xứng trên đường tròn, theo tính chất đường cao và trực tâm.
Bước 3: Kết luận

Sử dụng định lý về tam giác nội tiếp và trực tâm:
CH=BFCH = BFCH=BFvì FFF là điểm đối xứng của AAA qua OOO, và BFBFBF chính là đoạn nối từ BBB đến hình chiếu của AAA trên đường thẳng qua trực tâm HHH.

✅ Kết luận: CH = BF.