A) Tìm chiều cao hình nón

Gọi chiều cao của hình nón là \( h \)

Tính thể tích hình trụ:
\[
V_{\text{trụ}} = \pi r^2 h_{\text{trụ}} = \pi \times 15^2 \times 40 = \pi \times 225 \times 40 = 9000\pi \, \text{cm}^3
\]

Gọi thể tích hình nón là \( V_{\text{nón}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)

Theo đề:
\[
V_{\text{trụ}} = 7 \times V_{\text{nón}} \Rightarrow 9000\pi = 7 \times \left( \frac{1}{3} \pi \times 15^2 \times h \right)
\]

Thế số:
\[
9000\pi = 7 \times \left( \frac{1}{3} \pi \times 225 \times h \right)
\Rightarrow 9000\pi = \frac{1575\pi h}{3}
\Rightarrow 9000\pi = 525\pi h
\]

Chia 2 vế cho \( \pi \):
\[
9000 = 525h \Rightarrow h = \frac{9000}{525} \approx 17.14 \, \text{cm}
\]

án A: Chiều cao của hình nón khoảng 17,1 cm

B) Tính diện tích nhôm để làm toàn bộ nồi + nón (không tính đáy)

1. Diện tích cần để làm nồi (hình trụ, không đáy):
Chỉ cần:
- Thành nồi (xung quanh):
\[
S_{\text{trụ}} = 2\pi r h_{\text{trụ}} = 2\pi \times 15 \times 40 = 1200\pi \approx 3769.91 \, \text{cm}^2
\]

- Đáy nồi:
\[
S_{\text{đáy}} = \pi r^2 = \pi \times 225 = 225\pi \approx 706.86 \, \text{cm}^2
\]

→ Tổng diện tích nồi:
\[
S_{\text{nồi}} = 1200\pi + 225\pi = 1425\pi \approx 4476.77 \, \text{cm}^2
\]

2. Diện tích cần để làm nắp (hình nón):

Cần diện tích xung quanh hình nón:
\[
S_{\text{nón}} = \pi r l \, \text{(với } l \text{ là độ dài đường sinh)}
\]

Tính \( l \):
\[
l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{15^2 + (17.14)^2} \approx \sqrt{225 + 293.8} = \sqrt{518.8} \approx 22.78 \, \text{cm}
\]

→ Diện tích nón:
\[
S_{\text{nón}} = \pi \times 15 \times 22.78 \approx \pi \times 341.7 \approx 1073.3 \, \text{cm}^2
\]

Tổng diện tích cần dùng:
\[
S_{\text{tổng}} = S_{\text{nồi}} + S_{\text{nón}} \approx 4477 + 1073 = 5550 \, \text{cm}^2
\]

Đáp án B: Cần khoảng 5550 cm² nhôm để làm toàn bộ nồi và nắp (làm tròn đến đơn vị).

Để giải bài toán này, chúng ta cần áp dụng các công thức tính toán liên quan đến hình trụ và hình nón. Dưới đây là các bước giải chi tiết:

A) Tính chiều cao của hình nón:

Tính chu vi đáy của hình trụ:

Công thức chu vi đáy hình trụ: C=2πr, với r là bán kính đáy.
Thay số: C=2π×15=30π cm.
Tính bán kính đáy của hình nón:

Vì chu vi đáy hình nón bằng chu vi đáy hình trụ, nên bán kính đáy của hình nón cũng là 15 cm.
Tính thể tích của hình trụ:

Công thức thể tích hình trụ: Vtru​=πr2h, với h là chiều cao.
Thay số: Vtru​=π×152×40=9000π cm³.
Tính thể tích của hình nón:

Theo đề bài, thể tích hình trụ gấp 7 lần thể tích hình nón: Vtru​=7Vnon​.
Suy ra: Vnon​=7Vtru​​=79000π​ cm³.
Tính chiều cao của hình nón:

Công thức thể tích hình nón: Vnon​=31​πr2hnon​, với hnon​ là chiều cao hình nón.
Thay số và giải phương trình:

79000π​=31​π×152×hnon​

79000π​=75πhnon​

hnon​=7×75π9000π​=7120​≈17.14 cm.
Vậy, chiều cao của hình nón là khoảng 17.14 cm. (làm tròn đến hàng trăm)
B) Tính diện tích vật liệu cần để làm nồi và nón:

Tính diện tích xung quanh của hình trụ:

Công thức diện tích xung quanh hình trụ: Sxqt​ru​=2πrh.
Thay số: Sxqt​ru​=2π×15×40=1200π cm².
Tính diện tích đáy của hình trụ:

Diện tích đáy hình trụ: Sday​=πr2=π.152=225π cm².
Tính diện tích toàn phần của hình trụ (diện tích nồi, không tính nắp):

Diện tích toàn phần hình trụ (không nắp) = diện tích xung quanh + diện tích đáy
Snoi​=Sxqt​ru​+Sday​=1200π+225π=1425π cm².
Tính đường sinh của hình nón:

Công thức đường sinh: l=r2+hnon2​​.
Thay số: l=152+(7120​)2​=225+4914400​​=4911025+14400​​=4925425​​≈22.74 cm.
Tính diện tích xung quanh của hình nón:

Công thức diện tích xung quanh hình nón: Sxqn​on​=πrl.
Thay số: Sxqn​on​=π×15×22.74≈341.1π cm².
Tính tổng diện tích vật liệu:

Tổng diện tích: S=Snoi​+Sxqn​on​=1425π+341.1π=1766.1π≈5548.7 cm².
Vậy, cần khoảng 5549 cm² nhôm để làm cái nồi và nón. (làm tròn đến đơn vị)