a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp:

Ta có BE và CF là các đường cao của tam giác ABC nên ∠BEC=90∘ và ∠BFC=90∘.
Xét tứ giác BCEF có: ∠BEC+∠BFC=90∘+90∘=180∘.
Vậy tứ giác BCEF có tổng hai góc đối bằng 180∘ nên nó là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AE.AB = AF.AC và EF vuông góc AC:

Chứng minh AE.AB = AF.AC:

Xét △ABE và △ACF:

∠BAE=∠CAF (góc chung)
∠AEB=∠AFC=90∘

Suy ra △ABE∼△ACF (g.g).
Do đó, AFAE​=ACAB​⇒AE⋅AC=AF⋅AB.
Chứng minh EF vuông góc AC:

Gọi giao điểm của AK và (O) là D.
Xét tứ giác BCEF nội tiếp, ta có ∠AEF=∠ABC (cùng bù với ∠FEC).
Xét (O) có ∠ADC=∠ABC (cùng chắn cung AC).
Suy ra ∠AEF=∠ADC.
Mà ∠ADC+∠DAC=90∘ (do AD là đường kính)
Nên ∠AEF+∠DAC=90∘, hay ∠AEF+∠FAC=90∘.
Vậy EF vuông góc AC.
c) Tính độ dài AH theo R khi ∠BAC=60∘:

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Kẻ đường cao AD của tam giác ABC.
Gọi I là giao điểm của AD và đường tròn (O).
Ta có ∠BOC=2∠BAC=2⋅60∘=120∘.
Kẻ OM vuông góc với BC tại M, suy ra OM là đường trung trực của BC.
Trong tam giác vuông OMB, ta có:

BM=OB⋅sin(2∠BOC​)=R⋅sin(60∘)=R23​​

BC=2BM=R3​

Diện tích tam giác ABC:

SABC​=21​AB⋅AC⋅sin(60∘)

SABC​=21​BC⋅AD=21​R3​⋅AD

Mà theo định lý sin trong tam giác ABC: sin(60∘)BC​=2R⇒BC=2Rsin(60∘)=R3​

Từ đó suy ra: AB⋅AC=R3​AD

Xét tam giác vuông ABD có ∠BAD=90∘−∠ABC=∠ACB.
Xét tam giác vuông ABE có ∠BAE=90∘−∠ABC.
Suy ra ∠BAD=∠BAE.
Do đó tam giác ABE đồng dạng tam giác ADC (g.g)
Suy ra ADAB​=ACAE​⇒AB⋅AC=AD⋅AE

Mà AE=AH+HE=AH+HD (do H là trực tâm)
Nên AB⋅AC=AD(AH+HD)

Ta có AD⋅HD=BD⋅DC (hệ thức lượng trong đường tròn)
Mà BD = DC (do OM là trung trực BC)
Nên AD⋅HD=BD2=(2BC​)2=43R2​

Suy ra AB⋅AC=AD⋅AH+43R2​

Từ AB⋅AC=R3​AD

R3​AD=AD⋅AH+43R2​

AH=R3​−43R​=4R(43​−3)​

Chào bạn, mình sẽ giúp bạn giải bài toán này nhé!

a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp

Ta có:

∠BEC=90∘ (BE là đường cao)
∠BFC=90∘ (CF là đường cao)
Hai góc ∠BEC và ∠BFC cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông. Vậy các điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn đường kính BC. Do đó, tứ giác BCEF nội tiếp.

b) Chứng minh AE.AB = AF.AC và EF vuông góc AC

Chứng minh AE.AB = AF.AC:
Xét tam giác ABE và tam giác ACF, ta có:

∠AEB=∠AFC=90∘
∠BAC chung
Vậy tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACF (g.g).

Từ đó, ta có tỉ số đồng dạng: AFAE​=ACAB​

Suy ra: AE.AC=AF.AB (điều phải chứng minh).

Chứng minh EF vuông góc AC:
Gọi giao điểm của AK và đường tròn (O) là K. Ta có AK là đường kính của đường tròn (O).

Xét tam giác ABK nội tiếp đường tròn (O) có AK là đường kính, suy ra ∠ABK=90∘. Tương tự, xét tam giác ACK nội tiếp đường tròn (O) có AK là đường kính, suy ra ∠ACK=90∘.

Ta có H là trực tâm của tam giác ABC, suy ra BH vuông góc với AC. Mà ∠ABK=90∘ nên BK song song với CH. Tương tự, ∠ACK=90∘ nên CK song song với BH.

Vậy tứ giác BHCK là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của BC, suy ra M cũng là trung điểm của HK.

Xét tam giác AHK có O là trung điểm của AK và M là trung điểm của HK, suy ra OM là đường trung bình của tam giác AHK. Do đó, OM song song với AH.

Vì AH vuông góc với BC (do AD là đường cao), nên OM vuông góc với BC.

Mặt khác, tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC, tâm là trung điểm của BC (là M). Vậy M là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCEF.

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCEF có tâm M và bán kính 2BC​. Ta có ME = MF = 2BC​. Vậy tam giác MEF cân tại M.

Vì OM vuông góc với BC và EF là dây cung của đường tròn (M), đường trung trực của dây cung EF đi qua tâm M. Gọi giao điểm của OM và EF là I, suy ra MI vuông góc với EF.

Ta có OM song song với AH, MI vuông góc với EF, suy ra AH vuông góc với EF.

Ta lại có AE.AB = AF.AC, suy ra ACAE​=ABAF​.

Xét tam giác AEF và tam giác ACB có:

∠EAF chung
ACAE​=ABAF​
Vậy tam giác AEF đồng dạng với tam giác ACB (c.g.c).

Suy ra ∠AEF=∠ACB.

Gọi giao điểm của EF và AC là P. Xét tam giác EPC, ta có:

∠PEC+∠PCE=∠AEF+∠ACB=∠ACB+∠ACB=2∠ACB.

Để chứng minh EF vuông góc với AC, ta cần chứng minh ∠EPC=90∘. Điều này có vẻ không suy ra trực tiếp từ các chứng minh trên. Mình sẽ xem xét lại.

Cách khác để chứng minh EF vuông góc AC:

Ta có H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi D là chân đường cao từ A xuống BC. Ta biết rằng H là giao điểm của ba đường cao AD, BE, CF.

Xét tứ giác AEHF có ∠AEH=90∘ và ∠AFH=90∘. Vậy tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH. Tâm đường tròn này là trung điểm của AH.

Ta có ∠AEF=∠AHF (cùng chắn cung AF trong đường tròn ngoại tiếp AEHF). Ta có ∠AFE=∠AHE (cùng chắn cung AE trong đường tròn ngoại tiếp AEHF).

Ta biết rằng AH⊥BC. Gọi giao điểm của AD và EF là Q.

Xét tam giác ABC nhọn, ta có hình chiếu của H lên các cạnh BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Tam giác DEF gọi là tam giác trực tâm. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF gọi là đường tròn Euler của tam giác ABC.

Một tính chất quan trọng là AH=2RcosA.

Ta có ∠BHC=180∘−∠BAC. ∠CHE=90∘−∠HCE=90∘−(90∘−∠B)=∠B. ∠BHF=90∘−∠HBF=90∘−(90∘−∠C)=∠C. ∠EHF=180∘−∠BHC=180∘−(180∘−∠A)=∠A.

Xét tam giác AEF nội tiếp đường tròn đường kính AH, ta có ∠AEF=90∘−∠FAE=90∘−∠A. Ta có ∠ACB=γ. Để EF vuông góc với AC, ta cần ∠APE=90∘. ∠APE=180∘−∠PAF−∠AFE=180∘−∠A−(90∘−∠A)=90∘.

Vậy EF vuông góc với AC.

c) Tính độ dài AH theo R khi ∠BAC=60∘

Khi ∠BAC=60∘, ta có công thức tính độ dài AH theo R như sau:

AH=2Rcos(∠BAC) AH=2Rcos(60∘) AH=2R×21​ AH=R

Vậy độ dài AH bằng R khi ∠BAC=60∘.

Hy vọng lời giải này giúp bạn hiểu rõ bài toán! Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào khác, đừng ngần ngại hỏi mình nhé.