Đề bài
Cho tam giác nhọn △MỘTBC\tam giác ABC△ Một BCnội tiếp đường tròn(CÁC)(CÁC)( Ồ ), biết MỘTB<MỘTCAB < ACMột B<Và C. Các đường cao MỘTTôiLÀLÀ​,BNBNBNcắt nhau tại trực tâmHHH.

a) Chứng minh tứ giácCTôiHNCMHNCM H Nnội tiếp
b) Cô Tia phân giác trong của góc ∠MỘT\góc A∠ Một cắt đường tròn (CÁC)(CÁC)( Ồ ) tại điểm VÀVÀVÀ khác MỘTMỘTMỘT.
GọiKKKlà trung điểm củaMỘTCMáy chủVà C,FFFlà trung điểm củaBCtrước Công nguyêntrước Công nguyên.
Chứng minh:

CÁCVÀBẠN CÓ PHẢIBẠN CÓ PHẢIđi quaFFF
BH=2CÁCKBH = 2ĐượcB.H​=2 O K

Lời giải

a) CMHN nội tiếp
Ta cần chứng minh 4 điểm C,Tôi,H,NC, M, H, NC ,Tôi ,H ,N cùng nằm trên 1 đường tròn.

Vì MỘTTôi⊥BCAM \perp BCLÀ​⊥trước Công nguyên,BN⊥MỘTCBN \perp ACBN⊥Và C, nên:
∠CTôiH=90∘\góc CMH = 90^\circ∠ CM H=9 0∘,∠CNH=90∘\góc CNH = 90^\circ∠ CN H=9 0∘
Suy ra:
∠CTôiH+∠CNH=180∘\góc CMH + \góc CNH = 180^\circ∠ CM H+∠ CN H=18 0∘
→ Tứ giác CTôiHNCMHNCM H N có hai góc đối bù nhau ⇒ nội tiếp đường tròn

✅ Kết luận: CTôiHN nội tiVàˆˊP\boxed{CMHN \text{ nội tiếp}}CMHN nội tiVàˆˊP​

b.1) OE đi qua trung điểm FFFcủaBCtrước Công nguyêntrước Công nguyên
Tia phân giác trong góc MỘTMỘTMỘT cắt đường tròn tại VÀ≠MỘTE \ne AVÀ=MỘT
Ta cần chứng minh đường thẳng CÁCVÀBẠN CÓ PHẢIBẠN CÓ PHẢIđi qua trung điểmFFF của cạnh BCtrước Công nguyêntrước Công nguyên
Chứng minh:
VÀVÀVÀ là giao điểm thứ hai của tia phân giác trong của ∠MỘT\góc A∠ Mộtvới đường tròn
Đường thẳng CÁCVÀBẠN CÓ PHẢIBẠN CÓ PHẢI là trục đối xứng của cung BCtrước Công nguyêntrước Công nguyên không chứa MỘTMỘTMỘT
→ Mà đường nối tâm đường tròn CÁCCÁCCÁC với điểm giữa cung BCtrước Công nguyêntrước Công nguyên không chứa MỘTMỘTMỘT đi qua trung điểm cạnh BCtrước Công nguyêntrước Công nguyên

✅ Kết luận:CÁCVÀ đi qua trung điểm F của BC\boxed{OE \text{ đi qua trung điểm } F \text{ của } BC}OE đi qua trung điểm F của BC​

b.2) Chứng minh BH=2CÁCKBH = 2ĐượcB.H​=2 O K
Gợi ý: dùng tính chất tam giác vuông, trung điểm, trực tâm.

HHH là trực tâm, nên MỘTTôi⊥BCAM \perp BCLÀ​⊥trước Công nguyên,BN⊥MỘTCBN \perp ACBN⊥Và C
KKKlà trung điểm củaMỘTCMáy chủVà C
Xét tam giác vuông △BHC\tam giác BHC△ B H C có đường trung tuyến HKHồng KôngHồng Kông từ HHH đến cạnh MỘTCMáy chủVà C

Trong tam giác vuông △MỘTBH\tam giác ABH△ A B H, trung điểm của cạnh huyền (ở đây là CÁCKĐƯỢC RỒIĐƯỢC RỒI) liên hệ với cạnh góc vuông BHBHB.H​
Dùng tính chất hình học: trong tam giác nhọn MỘTBCABCMột BC nội tiếp đường tròn, nếu nối CÁCCÁCCÁC đến trung điểm KKKcủaMỘTCMáy chủVà C, thì đoạn thẳng CÁCKĐƯỢC RỒIĐƯỢC RỒI bằng nửa đoạn BHBHB.H​
→BH=2CÁCK\boxed{BH = 2OK}B.H​=2 O K​