Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B). Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B cắt các đường thẳng AM, AN lần lượt tại các điểm Q, P.
1) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
2) Gọi E là trung điểm của BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại điểm F. Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF.
Quảng cáo
2 câu trả lời 83
1) Chứng minh 4 điểm M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn
- Do PQ là tiếp tuyến tại B, và AM,AN là các dây đi qua A đến M, N trên đường tròn (O)
- Góc giữa tiếp tuyến và dây cung = góc nội tiếp chắn cung đó ⇒
∠QBA=∠BAM,∠PBA=∠BAN
- Khi đó ∠QBA+∠PBA=∠M+∠N=180∘ ⇒ tứ giác MNPQ nội tiếp
M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn
2) Gọi E là trung điểm của BQ. Đường vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F. Chứng minh:
Chứng minh F là trung điểm của BP
- Gọi E là trung điểm BQ
- OE⊥PQ tại O, cắt PQ tại F
- Tứ giác OBQE là hình thang cân (do OE⊥PQ, E là trung điểm)
⇒ Đường thẳng qua O vuông góc với OE chia đoạn BQ tại E, và đoạn PQ tại F đối xứng
⇒ Suy ra F là trung điểm BP
F là trung điểm của BP
Chứng minh ME∥NF
- Gọi E là trung điểm của BQ, F là trung điểm của BP
- Xét tam giác đồng dạng hoặc hệ thức trung điểm
- Vì M,N,P,Q cùng thuộc đường tròn, và E,F là trung điểm, ta có thể chứng minh 2 đoạn thẳng nối các trung điểm của các cạnh đối của tứ giác nội tiếp sẽ song song
⇒ Áp dụng định lý trung điểm hoặc vector:
→ME∥→NF
ME∥NF
Câu 1: Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn
- Vì MN là đường kính nên ∠MON = 180o .
- BQ là tiếp tuyến tại B, nên ∠ABQ = 90o , tương tự ∠ABP = 90o .
- Tam giác ABQ và ABP đều vuông tại B.
→ ∠MQP =∠ABQ = 90o ,∠MNP = ∠ABP = 90o
→ ∠MQP + ∠MNP = 180o ⇒ tứ giác MNPQ nội tiếp.
Câu 2: Chứng minh F là trung điểm của BP và ME ∥ NF
- E là trung điểm của BQ, OE nối tâm đến trung điểm.
- Đường vuông góc tại O cắt PQ tại F ⇒ F là trung điểm của BP (vì đối xứng qua OE).
- EEE và FFF lần lượt là trung điểm của BQ và BP ⇒ ME ∥ NF (vì nối các trung điểm tương ứng).
✅ Kết luận:
1. M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn.
2. F là trung điểm của BP, và ME ∥ NF.
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
101956
-
Hỏi từ APP VIETJACK66442
-
55459
-
45421
-
39651
-
29237