Cho phương trình:
\[
x^2 - 2(m - 1)x + m^2 - 3 = 0 \quad \text{(1)}
\]

a) Tìm \( m \) để phương trình có nghiệm

Phương trình bậc hai có nghiệm khi điều kiện delta \( \Delta \geq 0 \)

 Hệ số:
- \( a = 1 \)
- \( b = -2(m - 1) = -2m + 2 \)
- \( c = m^2 - 3 \)

 Tính biệt thức delta:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = [-2(m - 1)]^2 - 4(m^2 - 3)
= 4(m - 1)^2 - 4(m^2 - 3)
\]

Rút gọn:

\[
\Delta = 4[(m - 1)^2 - (m^2 - 3)]
= 4[m^2 - 2m + 1 - m^2 + 3] = 4(-2m + 4) = -8m + 16
\]

Điều kiện có nghiệm:

\[
\Delta \geq 0 \Rightarrow -8m + 16 \geq 0 \Rightarrow m \leq 2
\]

câu a:
Phương trình có nghiệm khi \( \boxed{m \leq 2} \)

b) Tìm \( m \) để phương trình có 2 nghiệm phân biệt và một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia

Gọi 2 nghiệm là \( x_1 \) và \( x_2 \) với \( x_1 = 3x_2 \)

Dùng hệ thức Viète:

- \( x_1 + x_2 = 2(m - 1) \)
- \( x_1 \cdot x_2 = m^2 - 3 \)

 Thay \( x_1 = 3x_2 \) vào hệ thức:

1. Tổng:
\[
x_1 + x_2 = 3x_2 + x_2 = 4x_2 = 2(m - 1) \Rightarrow x_2 = \frac{2(m - 1)}{4} = \frac{m - 1}{2}
\]

2. Tích:
\[
x_1 x_2 = 3x_2 \cdot x_2 = 3x_2^2 = m^2 - 3
\]

Thay \( x_2 = \frac{m - 1}{2} \):

\[
3 \left( \frac{m - 1}{2} \right)^2 = m^2 - 3
\Rightarrow 3 \cdot \frac{(m - 1)^2}{4} = m^2 - 3
\Rightarrow \frac{3(m - 1)^2}{4} = m^2 - 3
\]

Nhân 2 vế với 4:

\[
3(m - 1)^2 = 4m^2 - 12
\]

Khai triển:

\[
3(m^2 - 2m + 1) = 4m^2 - 12
\Rightarrow 3m^2 - 6m + 3 = 4m^2 - 12
\Rightarrow -m^2 - 6m + 15 = 0
\Rightarrow m^2 + 6m - 15 = 0
\]

Giải phương trình:

\[
\Delta = 36 + 60 = 96
\Rightarrow m = \frac{-6 \pm \sqrt{96}}{2} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{6}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{6}
\]

câu b:

Phương trình có 2 nghiệm và một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia khi:

\[
\boxed{m = -3 + 2\sqrt{6} \quad \text{hoặc} \quad m = -3 - 2\sqrt{6}}
\]

a) 

    $\Delta' = [-(m-1)]^2 - 1 \cdot (m^2 - 3)$

    $\Delta' = (m-1)^2 - (m^2 - 3)$

    $\Delta' = m^2 - 2m + 1 - m^2 + 3$

    $\Delta' = -2m + 4$

 $\Delta' \ge 0$

    $\Leftrightarrow -2m + 4 \ge 0$

    $\Leftrightarrow -2m \ge -4$

    $\Leftrightarrow m \le 2$

 Vậy $m \le 2$ thì phương trình có nghiệm.

b) 

 $\Delta' > 0 \Leftrightarrow -2m + 4 > 0 \Leftrightarrow m < 2$.

 Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình. 

    $\begin{cases} x_1 + x_2 = 2(m-1) \quad (1) \\ x_1 x_2 = m^2 - 3 \quad (2) \end{cases}$

    $3x_2 + x_2 = 2(m-1)$

    $\Leftrightarrow 4x_2 = 2(m-1)$

    $\Leftrightarrow x_2 = \frac{m-1}{2}$

 $x_1 = 3x_2 = \frac{3(m-1)}{2}$

    $\frac{3(m-1)}{2} \cdot \frac{m-1}{2} = m^2 - 3$

    $\Leftrightarrow \frac{3(m-1)^2}{4} = m^2 - 3$

    $\Leftrightarrow 3(m^2 - 2m + 1) = 4(m^2 - 3)$

    $\Leftrightarrow 3m^2 - 6m + 3 = 4m^2 - 12$

    $\Leftrightarrow m^2 + 6m - 15 = 0$

    $\Delta_m = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 36 + 60 = 96$

    $\sqrt{\Delta_m} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$

    $m = \frac{-6 \pm 4\sqrt{6}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{6}$

 Kiểm tra điều kiện $m < 2$:

       $m = -3 + 2\sqrt{6} \approx -3 + 2(2.45) = -3 + 4.9 = 1.9 < 2$ (Thỏa mãn)

     $m = -3 - 2\sqrt{6} < 0 < 2$ (Thỏa mãn)

 Vậy $m = -3 \pm 2\sqrt{6}$