Cho phương trình:
$x^2 - 2(m - 1)x + m^2 - 3 = 0 \quad \text{(1)}$

a) Tìm $m$ để phương trình có nghiệm

Phương trình bậc hai có nghiệm khi điều kiện delta $\Delta \geq 0$

 Hệ số:
- $a = 1$
- $b = -2(m - 1) = -2m + 2$
- $c = m^2 - 3$

 Tính biệt thức delta:

$\Delta = b^2 - 4ac = [-2(m - 1)]^2 - 4(m^2 - 3) = 4(m - 1)^2 - 4(m^2 - 3)$

Rút gọn:

$\Delta = 4[(m - 1)^2 - (m^2 - 3)] = 4[m^2 - 2m + 1 - m^2 + 3] = 4(-2m + 4) = -8m + 16$

Điều kiện có nghiệm:

$\Delta \geq 0 \Rightarrow -8m + 16 \geq 0 \Rightarrow m \leq 2$

câu a:
Phương trình có nghiệm khi $\boxed{m \leq 2}$

b) Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt và một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia

Gọi 2 nghiệm là $x_1$ và $x_2$ với $x_1 = 3x_2$

Dùng hệ thức Viète:

- $x_1 + x_2 = 2(m - 1)$
- $x_1 \cdot x_2 = m^2 - 3$

 Thay $x_1 = 3x_2$ vào hệ thức:

1. Tổng:
$x_1 + x_2 = 3x_2 + x_2 = 4x_2 = 2(m - 1) \Rightarrow x_2 = \frac{2(m - 1)}{4} = \frac{m - 1}{2}$

2. Tích:
$x_1 x_2 = 3x_2 \cdot x_2 = 3x_2^2 = m^2 - 3$

Thay $x_2 = \frac{m - 1}{2}$:

$3 \left( \frac{m - 1}{2} \right)^2 = m^2 - 3 \Rightarrow 3 \cdot \frac{(m - 1)^2}{4} = m^2 - 3 \Rightarrow \frac{3(m - 1)^2}{4} = m^2 - 3$

Nhân 2 vế với 4:

$3(m - 1)^2 = 4m^2 - 12$

Khai triển:

$3(m^2 - 2m + 1) = 4m^2 - 12 \Rightarrow 3m^2 - 6m + 3 = 4m^2 - 12 \Rightarrow -m^2 - 6m + 15 = 0 \Rightarrow m^2 + 6m - 15 = 0$

Giải phương trình:

$\Delta = 36 + 60 = 96 \Rightarrow m = \frac{-6 \pm \sqrt{96}}{2} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{6}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{6}$

câu b:

Phương trình có 2 nghiệm và một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia khi:

$\boxed{m = -3 + 2\sqrt{6} \quad \text{hoặc} \quad m = -3 - 2\sqrt{6}}$

a) 

    $\Delta' = [-(m-1)]^2 - 1 \cdot (m^2 - 3)$

    $\Delta' = (m-1)^2 - (m^2 - 3)$

    $\Delta' = m^2 - 2m + 1 - m^2 + 3$

    $\Delta' = -2m + 4$

 $\Delta' \ge 0$

    $\Leftrightarrow -2m + 4 \ge 0$

    $\Leftrightarrow -2m \ge -4$

    $\Leftrightarrow m \le 2$

 Vậy $m \le 2$ thì phương trình có nghiệm.

b) 

 $\Delta' > 0 \Leftrightarrow -2m + 4 > 0 \Leftrightarrow m < 2$.

 Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình. 

    $\begin{cases} x_1 + x_2 = 2(m-1) \quad (1) \\ x_1 x_2 = m^2 - 3 \quad (2) \end{cases}$

    $3x_2 + x_2 = 2(m-1)$

    $\Leftrightarrow 4x_2 = 2(m-1)$

    $\Leftrightarrow x_2 = \frac{m-1}{2}$

 $x_1 = 3x_2 = \frac{3(m-1)}{2}$

    $\frac{3(m-1)}{2} \cdot \frac{m-1}{2} = m^2 - 3$

    $\Leftrightarrow \frac{3(m-1)^2}{4} = m^2 - 3$

    $\Leftrightarrow 3(m^2 - 2m + 1) = 4(m^2 - 3)$

    $\Leftrightarrow 3m^2 - 6m + 3 = 4m^2 - 12$

    $\Leftrightarrow m^2 + 6m - 15 = 0$

    $\Delta_m = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 36 + 60 = 96$

    $\sqrt{\Delta_m} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$

    $m = \frac{-6 \pm 4\sqrt{6}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{6}$

 Kiểm tra điều kiện $m < 2$:

       $m = -3 + 2\sqrt{6} \approx -3 + 2(2.45) = -3 + 4.9 = 1.9 < 2$ (Thỏa mãn)

     $m = -3 - 2\sqrt{6} < 0 < 2$ (Thỏa mãn)

 Vậy $m = -3 \pm 2\sqrt{6}$