Để chứng minh \(\triangle HEM \sim \triangle HAC\), ta sẽ thực hiện các bước sau:

**1. Chứng minh \(\angle HEM = \angle HAC\):**

* Vì \(BD\) và \(CE\) là các đường cao của \(\triangle ABC\), ta có \(\angle BEC = \angle BDC = 90^\circ\).
* Suy ra tứ giác \(BCDE\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\).
* Do đó, \(\angle HED = \angle HBC\) (cùng chắn cung \(CD\) trong tứ giác nội tiếp \(BCDE\)).
* Theo giả thiết, \(\triangle HED \sim \triangle HBC\), suy ra \(\angle EHD = \angle BCH\).
* Ta có \(\angle EHA = \angle DHC\) (đối đỉnh).
* Vậy \(\angle EHA = \angle BCH\).
* Xét \(\triangle AHE\), ta có \(\angle EAH = 90^\circ - \angle AEH\) (vì \(\angle AEH + \angle EAH = 90^\circ\)).
* Xét \(\triangle CEB\), ta có \(\angle BCE = 90^\circ - \angle EBC\).
* Mà \(\angle EBC = \angle AEH\) (cùng phụ với \(\angle EAB\)).
* Suy ra \(\angle EAH = \angle BCE\).
* Vậy \(\angle HEM = \angle EHA + \angle AHM = \angle BCH + \angle AHM\).
* Ta có \(\angle HAC = \angle BAM = 90^\circ - \angle ABC = 90^\circ - \angle EBC\).
* Do đó, \(\angle HEM = \angle HAC\).

**2. Chứng minh \(\angle EHM = \angle ACH\):**

* Ta có \(\angle AHM = \angle CHM\) (do \(AH\) và \(BC\) vuông góc tại \(M\)).
* Ta cần chứng minh \(\angle AHM = \angle ACH\).
* Xét tứ giác \(AEHD\) có \(\angle AEH = \angle ADH = 90^\circ\), suy ra tứ giác \(AEHD\) nội tiếp.
* Do đó, \(\angle EAH = \angle EDH\).
* Mà \(\angle EDH = \angle HBC\) (do \(\triangle HED \sim \triangle HBC\)).
* Suy ra \(\angle EAH = \angle HBC\).
* Vậy \(\angle ACH = \angle ACB = 90^\circ - \angle ABC = \angle AHM\).
* Do đó, \(\angle EHM = \angle ACH\).

**3. Kết luận:**

* Vì \(\angle HEM = \angle HAC\) và \(\angle EHM = \angle ACH\), suy ra \(\triangle HEM \sim \triangle HAC\) (theo trường hợp góc - góc).

Vậy, \(\triangle HEM \sim \triangle HAC\) (điều phải chứng minh).