Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Tôi sẽ chứng minh bài toán này cho bạn theo từng bước như sau:

**i. Chứng minh N là trung điểm của AB.**

* **Tóm tắt giả thiết và kết luận:**

* Tam giác ABC cân tại A.
* AM là tia phân giác của góc A (M thuộc BC).
* MN // AC (N thuộc AB).
* G là giao điểm của AM và CN.
* **Chứng minh:** N là trung điểm của AB.

* **Chứng minh:**

* Vì tam giác ABC cân tại A, nên \(\angle ABC = \angle ACB\).
* Vì AM là tia phân giác của \(\angle BAC\), nên \(\angle BAM = \angle CAM\).
* Vì MN // AC, nên \(\angle ANM = \angle BAC\) (đồng vị) và \(\angle NMC = \angle ACB\) (đồng vị).
* Ta có \(\angle ANM = \angle CAM\) (cùng bằng \(\frac{1}{2}\angle BAC\)).
* Suy ra tam giác AMN cân tại N, do đó AN = NM.
* Ta lại có \(\angle ABC = \angle NMC\) (cùng bằng \(\angle ACB\)).
* Suy ra tam giác BMN cân tại N, do đó BN = NM.
* Vậy AN = BN, do đó N là trung điểm của AB.

**ii. Chứng minh độ dài cạnh BG nhỏ hơn 1/3 chu vi tam giác ABC.**

* **Chứng minh:**

* Gọi I là trung điểm của AB. Vì tam giác ABC cân tại A nên AI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.
* Vì N là trung điểm của AB (chứng minh trên), nên N trùng với I. Do đó CN là đường trung tuyến của tam giác ABC.
* Vì G là giao điểm của AM và CN, mà AM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC, nên G là trọng tâm của tam giác ABC.
* Theo tính chất trọng tâm, ta có \(CG = \frac{2}{3}CN\). Suy ra \(BG = \frac{2}{3}BN\).
* Vì N là trung điểm của AB, nên \(BN = \frac{1}{2}AB\).
* Do đó, \(BG = \frac{2}{3}CN = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}AB = \frac{1}{3}AB\).
* Vì tam giác ABC cân tại A, nên AB = AC.
* Chu vi tam giác ABC là \(AB + AC + BC = 2AB + BC\).
* Ta cần chứng minh \(BG < \frac{1}{3}(2AB + BC)\).
* Mà \(BG = \frac{1}{3}AB\), nên ta cần chứng minh \(\frac{1}{3}AB < \frac{1}{3}(2AB + BC)\).
* Điều này tương đương với việc chứng minh \(AB < 2AB + BC\), hay \(0 < AB + BC\).
* Bất đẳng thức này luôn đúng vì AB và BC là độ dài các cạnh của tam giác, nên chúng dương.
* Vậy \(BG < \frac{1}{3}\) chu vi tam giác ABC.

...Xem thêm

Answer 2

Tôi sẽ chứng minh bài toán này cho bạn theo từng bước như sau:

**i. Chứng minh N là trung điểm của AB.**

* **Tóm tắt giả thiết và kết luận:**

* Tam giác ABC cân tại A.
* AM là tia phân giác của góc A (M thuộc BC).
* MN // AC (N thuộc AB).
* G là giao điểm của AM và CN.
* **Chứng minh:** N là trung điểm của AB.

* **Chứng minh:**

* Vì tam giác ABC cân tại A, nên \(\angle ABC = \angle ACB\).
* Vì AM là tia phân giác của \(\angle BAC\), nên \(\angle BAM = \angle CAM\).
* Vì MN // AC, nên \(\angle ANM = \angle BAC\) (đồng vị) và \(\angle NMC = \angle ACB\) (đồng vị).
* Ta có \(\angle ANM = \angle CAM\) (cùng bằng \(\frac{1}{2}\angle BAC\)).
* Suy ra tam giác AMN cân tại N, do đó AN = NM.
* Ta lại có \(\angle ABC = \angle NMC\) (cùng bằng \(\angle ACB\)).
* Suy ra tam giác BMN cân tại N, do đó BN = NM.
* Vậy AN = BN, do đó N là trung điểm của AB.

**ii. Chứng minh độ dài cạnh BG nhỏ hơn 1/3 chu vi tam giác ABC.**

* **Chứng minh:**

* Gọi I là trung điểm của AB. Vì tam giác ABC cân tại A nên AI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.
* Vì N là trung điểm của AB (chứng minh trên), nên N trùng với I. Do đó CN là đường trung tuyến của tam giác ABC.
* Vì G là giao điểm của AM và CN, mà AM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC, nên G là trọng tâm của tam giác ABC.
* Theo tính chất trọng tâm, ta có \(CG = \frac{2}{3}CN\). Suy ra \(BG = \frac{2}{3}BN\).
* Vì N là trung điểm của AB, nên \(BN = \frac{1}{2}AB\).
* Do đó, \(BG = \frac{2}{3}CN = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}AB = \frac{1}{3}AB\).
* Vì tam giác ABC cân tại A, nên AB = AC.
* Chu vi tam giác ABC là \(AB + AC + BC = 2AB + BC\).
* Ta cần chứng minh \(BG < \frac{1}{3}(2AB + BC)\).
* Mà \(BG = \frac{1}{3}AB\), nên ta cần chứng minh \(\frac{1}{3}AB < \frac{1}{3}(2AB + BC)\).
* Điều này tương đương với việc chứng minh \(AB < 2AB + BC\), hay \(0 < AB + BC\).
* Bất đẳng thức này luôn đúng vì AB và BC là độ dài các cạnh của tam giác, nên chúng dương.
* Vậy \(BG < \frac{1}{3}\) chu vi tam giác ABC.

1 câu trả lời 260

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 7