Câu 2.195. Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại...

Question

Câu 2.195. Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại M. Qua M vẽ đường thẳng song song với AC cắt cạnh AB tại N. Gọi G là giao điểm của AM và CN. Chứng tỏ: i. N là trung điểm của AB. ii. Độ dài cạnh BG nhỏ hơn 1/3 chu vi tam giác ABC.

VietJack · Accepted Answer

Tôi sẽ chứng minh bài toán này cho bạn theo từng bước như sau:

**i. Chứng minh N là trung điểm của AB.**

* **Tóm tắt giả thiết và kết luận:**

* Tam giác ABC cân tại A.
* AM là tia phân giác của góc A (M thuộc BC).
* MN // AC (N thuộc AB).
* G là giao điểm của AM và CN.
* **Chứng minh:** N là trung điểm của AB.

* **Chứng minh:**

* Vì tam giác ABC cân tại A, nên $\angle ABC = \angle ACB$ .
* Vì AM là tia phân giác của $\angle BAC$ , nên $\angle BAM = \angle CAM$ .
* Vì MN // AC, nên $\angle ANM = \angle BAC$ (đồng vị) và $\angle NMC = \angle ACB$ (đồng vị).
* Ta có $\angle ANM = \angle CAM$ (cùng bằng $\frac{1}{2}\angle BAC$ ).
* Suy ra tam giác AMN cân tại N, do đó AN = NM.
* Ta lại có $\angle ABC = \angle NMC$ (cùng bằng $\angle ACB$ ).
* Suy ra tam giác BMN cân tại N, do đó BN = NM.
* Vậy AN = BN, do đó N là trung điểm của AB.

**ii. Chứng minh độ dài cạnh BG nhỏ hơn 1/3 chu vi tam giác ABC.**

* **Chứng minh:**

* Gọi I là trung điểm của AB. Vì tam giác ABC cân tại A nên AI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.
* Vì N là trung điểm của AB (chứng minh trên), nên N trùng với I. Do đó CN là đường trung tuyến của tam giác ABC.
* Vì G là giao điểm của AM và CN, mà AM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC, nên G là trọng tâm của tam giác ABC.
* Theo tính chất trọng tâm, ta có $CG = \frac{2}{3}CN$ . Suy ra $BG = \frac{2}{3}BN$ .
* Vì N là trung điểm của AB, nên $BN = \frac{1}{2}AB$ .
* Do đó, $BG = \frac{2}{3}CN = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}AB = \frac{1}{3}AB$ .
* Vì tam giác ABC cân tại A, nên AB = AC.
* Chu vi tam giác ABC là $AB + AC + BC = 2AB + BC$ .
* Ta cần chứng minh $BG < \frac{1}{3}(2AB + BC)$ .
* Mà $BG = \frac{1}{3}AB$ , nên ta cần chứng minh $\frac{1}{3}AB < \frac{1}{3}(2AB + BC)$ .
* Điều này tương đương với việc chứng minh $AB < 2AB + BC$ , hay $0 < AB + BC$ .
* Bất đẳng thức này luôn đúng vì AB và BC là độ dài các cạnh của tam giác, nên chúng dương.
* Vậy $BG < \frac{1}{3}$ chu vi tam giác ABC.

1 câu trả lời 19

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 7