Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ phân tích từng phần.

### a) Chứng minh tam giác \( ABD \cong EBD \).

1. **Góc \( \angle ABD \) và \( \angle EBD \)**:
- \( D \) là điểm trên \( AC \) sao cho \( AD \) là tia phân giác của góc \( ABC \). Theo định nghĩa của tia phân giác, chúng ta có:
- \( \angle ABD = \angle EBD \).

2. **Cạnh \( AB \) và \( EB \)**:
- Theo giả thiết, \( BE = BA \) (vì \( BE \) được lấy sao cho \( BE = BA \)).
- Do đó, \( AB = BE \).

3. **Cạnh chung \( BD \)**:
- Cả hai tam giác \( ABD \) và \( EBD \) đều có cạnh \( BD \) chung.

4. Từ các yếu tố trên, chúng ta có:
- \( \angle ABD = \angle EBD \)
- \( AB = BE \)
- Cạnh chung \( BD \)

Áp dụng yếu tố chứng minh tam giác theo định lý cạnh-góc-cạnh (c.g.c), ta có:
\[ \triangle ABD \cong \triangle EBD \]

### b) Chứng minh \( D \) là trung điểm của đoạn thẳng \( EK \).

1. **Kẻ đường thẳng \( AK \) song song với \( BD \)**:
- Theo tính chất đường thẳng song song, ta có:
- \( \angle ABD = \angle AKD \) (góc đồng vị).

2. **Chứng minh \( \triangle ABD \cong \triangle AKD \)**:
- Từ phần a), \( \triangle ABD \cong \triangle EBD \) cho chúng ta biết rằng \( BD \) và \( AK \) là hai đường thẳng song song và cắt \( ED \) tại \( K \).
- Sử dụng nguyên lý của tam giác đồng dạng hoặc so sánh góc và cạnh, ta có:
- \( AB = BE \) và \( AK \) cũng bằng một cạnh tương ứng với \( BD \) của tam giác \( EBD \).
- Với các góc tương ứng bằng nhau, chúng ta có \( AK \parallel BD \), từ đó suy ra \( \triangle AKD \) tương tự \( \triangle EBD \).

3. **Tính chất của hai tam giác**:
- Vì \( BD \parallel AK \), theo tính chất, ta có \( \frac{AD}{DK} = \frac{AB}{BE} = 1 \).
- Điều này chứng minh rằng \( D \) chia \( EK \) thành hai đoạn bằng nhau, tức là \( D \) là trung điểm của \( EK \).

Kết luận:
Chúng ta đã chứng minh rằng \( D \) là trung điểm của đoạn thẳng \( EK \), như yêu cầu của bài toán.

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ phân tích từng phần.

### a) Chứng minh tam giác ABD≅EBDABD≅EBD.

1. **Góc ∠ABD∠ABD và ∠EBD∠EBD**:
- DD là điểm trên ACAC sao cho ADAD là tia phân giác của góc ABCABC. Theo định nghĩa của tia phân giác, chúng ta có:
- ∠ABD=∠EBD∠ABD=∠EBD.

2. **Cạnh ABAB và EBEB**:
- Theo giả thiết, BE=BABE=BA (vì BEBE được lấy sao cho BE=BABE=BA).
- Do đó, AB=BEAB=BE.

3. **Cạnh chung BDBD**:
- Cả hai tam giác ABDABD và EBDEBD đều có cạnh BDBD chung.

4. Từ các yếu tố trên, chúng ta có:
- ∠ABD=∠EBD∠ABD=∠EBD
- AB=BEAB=BE
- Cạnh chung BDBD

Áp dụng yếu tố chứng minh tam giác theo định lý cạnh-góc-cạnh (c.g.c), ta có:
△ABD≅△EBD△ABD≅△EBD

### b) Chứng minh DD là trung điểm của đoạn thẳng EKEK.

1. **Kẻ đường thẳng AKAK song song với BDBD**:
- Theo tính chất đường thẳng song song, ta có:
- ∠ABD=∠AKD∠ABD=∠AKD (góc đồng vị).

2. **Chứng minh △ABD≅△AKD△ABD≅△AKD**:
- Từ phần a), △ABD≅△EBD△ABD≅△EBD cho chúng ta biết rằng BDBD và AKAK là hai đường thẳng song song và cắt EDED tại KK.
- Sử dụng nguyên lý của tam giác đồng dạng hoặc so sánh góc và cạnh, ta có:
- AB=BEAB=BE và AKAK cũng bằng một cạnh tương ứng với BDBD của tam giác EBDEBD.
- Với các góc tương ứng bằng nhau, chúng ta có AK∥BDAK∥BD, từ đó suy ra △AKD△AKD tương tự △EBD△EBD.

3. **Tính chất của hai tam giác**:
- Vì BD∥AKBD∥AK, theo tính chất, ta có ADDK=ABBE=1ADDK=ABBE=1.
- Điều này chứng minh rằng DD chia EKEK thành hai đoạn bằng nhau, tức là DD là trung điểm của EKEK.

Kết luận:
Chúng ta đã chứng minh rằng DD là trung điểm của đoạn thẳng EKEK, như yêu cầu của bài toán.