Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ phân tích từng phần.

### a) Chứng minh tam giác $ABD \cong EBD$.

1. **Góc $\angle ABD$ và $\angle EBD$**:
- $D$ là điểm trên $AC$ sao cho $AD$ là tia phân giác của góc $ABC$. Theo định nghĩa của tia phân giác, chúng ta có:
- $\angle ABD = \angle EBD$.

2. **Cạnh $AB$ và $EB$**:
- Theo giả thiết, $BE = BA$ (vì $BE$ được lấy sao cho $BE = BA$).
- Do đó, $AB = BE$.

3. **Cạnh chung $BD$**:
- Cả hai tam giác $ABD$ và $EBD$ đều có cạnh $BD$ chung.

4. Từ các yếu tố trên, chúng ta có:
- $\angle ABD = \angle EBD$
- $AB = BE$
- Cạnh chung $BD$

Áp dụng yếu tố chứng minh tam giác theo định lý cạnh-góc-cạnh (c.g.c), ta có:
$\triangle ABD \cong \triangle EBD$

### b) Chứng minh $D$ là trung điểm của đoạn thẳng $EK$.

1. **Kẻ đường thẳng $AK$ song song với $BD$**:
- Theo tính chất đường thẳng song song, ta có:
- $\angle ABD = \angle AKD$ (góc đồng vị).

2. **Chứng minh $\triangle ABD \cong \triangle AKD$**:
- Từ phần a), $\triangle ABD \cong \triangle EBD$ cho chúng ta biết rằng $BD$ và $AK$ là hai đường thẳng song song và cắt $ED$ tại $K$.
- Sử dụng nguyên lý của tam giác đồng dạng hoặc so sánh góc và cạnh, ta có:
- $AB = BE$ và $AK$ cũng bằng một cạnh tương ứng với $BD$ của tam giác $EBD$.
- Với các góc tương ứng bằng nhau, chúng ta có $AK \parallel BD$, từ đó suy ra $\triangle AKD$ tương tự $\triangle EBD$.

3. **Tính chất của hai tam giác**:
- Vì $BD \parallel AK$, theo tính chất, ta có $\frac{AD}{DK} = \frac{AB}{BE} = 1$.
- Điều này chứng minh rằng $D$ chia $EK$ thành hai đoạn bằng nhau, tức là $D$ là trung điểm của $EK$.

Kết luận:
Chúng ta đã chứng minh rằng $D$ là trung điểm của đoạn thẳng $EK$, như yêu cầu của bài toán.

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ phân tích từng phần.

### a) Chứng minh tam giác ABD≅EBDABD≅EBD.

1. **Góc ∠ABD∠ABD và ∠EBD∠EBD**:
- DD là điểm trên ACAC sao cho ADAD là tia phân giác của góc ABCABC. Theo định nghĩa của tia phân giác, chúng ta có:
- ∠ABD=∠EBD∠ABD=∠EBD.

2. **Cạnh ABAB và EBEB**:
- Theo giả thiết, BE=BABE=BA (vì BEBE được lấy sao cho BE=BABE=BA).
- Do đó, AB=BEAB=BE.

3. **Cạnh chung BDBD**:
- Cả hai tam giác ABDABD và EBDEBD đều có cạnh BDBD chung.

4. Từ các yếu tố trên, chúng ta có:
- ∠ABD=∠EBD∠ABD=∠EBD
- AB=BEAB=BE
- Cạnh chung BDBD

Áp dụng yếu tố chứng minh tam giác theo định lý cạnh-góc-cạnh (c.g.c), ta có:
△ABD≅△EBD△ABD≅△EBD

### b) Chứng minh DD là trung điểm của đoạn thẳng EKEK.

1. **Kẻ đường thẳng AKAK song song với BDBD**:
- Theo tính chất đường thẳng song song, ta có:
- ∠ABD=∠AKD∠ABD=∠AKD (góc đồng vị).

2. **Chứng minh △ABD≅△AKD△ABD≅△AKD**:
- Từ phần a), △ABD≅△EBD△ABD≅△EBD cho chúng ta biết rằng BDBD và AKAK là hai đường thẳng song song và cắt EDED tại KK.
- Sử dụng nguyên lý của tam giác đồng dạng hoặc so sánh góc và cạnh, ta có:
- AB=BEAB=BE và AKAK cũng bằng một cạnh tương ứng với BDBD của tam giác EBDEBD.
- Với các góc tương ứng bằng nhau, chúng ta có AK∥BDAK∥BD, từ đó suy ra △AKD△AKD tương tự △EBD△EBD.

3. **Tính chất của hai tam giác**:
- Vì BD∥AKBD∥AK, theo tính chất, ta có ADDK=ABBE=1ADDK=ABBE=1.
- Điều này chứng minh rằng DD chia EKEK thành hai đoạn bằng nhau, tức là DD là trung điểm của EKEK.

Kết luận:
Chúng ta đã chứng minh rằng DD là trung điểm của đoạn thẳng EKEK, như yêu cầu của bài toán.