### Phần a: Chứng minh tam giác BAD đồng dạng với tam giác BCE và tam giác BHD đồng dạng với tam giác BAE
#### Chứng minh \(\triangle BAD\) đồng dạng với \(\triangle BCE\)
- Xét hai tam giác \(\triangle BAD\) và \(\triangle BCE\):
- Góc \(BAD\) và góc \(BCE\) là góc bù nhau (tức là hai góc này đối đỉnh và bằng nhau).
- Góc \(BDA\) và góc \(BCA\) là góc chung (vì \(AH\) là đường cao và \(BD\) là tia phân giác của góc \(\angle B\)).

Do đó, theo định lý đồng dạng góc - góc:
\[ \triangle BAD \sim \triangle BCE \]

#### Chứng minh \(\triangle BHD\) đồng dạng với \(\triangle BAE\)
- Xét hai tam giác \(\triangle BHD\) và \(\triangle BAE\):
- Góc \(BHD\) và góc \(BAE\) là góc bù nhau (do \(AH\) là đường cao và \(BD\) là tia phân giác của góc \(\angle B\)).
- Góc \(BDH\) và góc \(BAE\) là góc chung (vì \(BD\) là tia phân giác của góc \(\angle B\)).

Do đó, theo định lý đồng dạng góc - góc:
\[ \triangle BHD \sim \triangle BAE \]

### Phần b: Chứng minh \( \frac{DA}{DA} = \frac{EA}{EV} \)
Điều này có thể là lỗi đánh máy từ câu hỏi của bạn vì các ký hiệu trông không rõ ràng. Nếu không, hãy sửa lại hoặc cung cấp thêm thông tin chi tiết, mình sẵn lòng giải thích tiếp.

### Phần c: Biết \( AB = 3 \text{ cm}, BC = 5 \text{ cm} \), tính độ dài của \( HB \) và \( HC \)
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \).
- Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \( ABC \) để tính \( AC \):
\[ AC^2 = BC^2 - AB^2 \]
\[ AC^2 = 5^2 - 3^2 \]
\[ AC^2 = 25 - 9 \]
\[ AC^2 = 16 \]
\[ AC = \sqrt{16} = 4 \text{ cm} \]

#### Tính độ dài \( HB \) và \( HC \)
- Ta có đường cao \( AH \) chia tam giác \( ABC \) thành hai tam giác vuông nhỏ:
- \(\triangle ABH \)
- \(\triangle ACH \)

Sử dụng tính chất của tam giác vuông với đường cao \( AH \):
- \( HB \) và \( HC \) lần lượt là:
\[ HB = \frac{AB^2}{BC} = \frac{3^2}{5} = \frac{9}{5} \text{ cm} = 1.8 \text{ cm} \]
\[ HC = \frac{AC^2}{BC} = \frac{4^2}{5} = \frac{16}{5} \text{ cm} = 3.2 \text{ cm} \]