Câu 1: Chứng minh bốn điểm M, A, B, O cùng thuộc một đường tròn.
Ta có đoạn thẳng MA, MB là hai tiếp tuyến từ M đến đường tròn (O; R), vậy ta có $MA = MB$ (do tính chất của tiếp tuyến từ một điểm đến đường tròn).

Từ đó, ta có tam giác $OMA$ vuông tại A và tam giác $OMB$ vuông tại B (vì MA, MB là tiếp tuyến tại A và B).

Khi đó, ta có $\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ$.

Điều này có nghĩa là đường tròn (O; R) và điểm M tạo thành một góc vuông với các tiếp tuyến tại A và B, nên bốn điểm M, A, B, O nằm trên một đường tròn theo định lý giao tuyến của hai tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn.

Câu 2: Chứng minh $MA^2 = MH \cdot MO = MC \cdot MD$.
Ta có $MA = MB$ là tiếp tuyến từ M, và ta cũng biết rằng OM cắt AB tại H và cắt đường tròn tại I. Sử dụng tính chất tiếp tuyến và định lý secant-tangent (định lý tiếp tuyến – tiếp tuyến), ta có:

$MA^2 = MH \cdot MO$

Vì đoạn thẳng MD cắt đường tròn tại C khác D, ta cũng có:

$MC \cdot MD = MH \cdot MO$

Như vậy, ta đã chứng minh được:

$MA^2 = MH \cdot MO = MC \cdot MD$

Câu 3: Chứng minh $IH \cdot IO = IM \cdot OH$.
Vì I là điểm giao của OM với đường tròn, ta có:

$\angle OIH = \angle OHM = 90^\circ$ (do OM là đường kính của đường tròn).
Do đó, tam giác OIH vuông tại H, và áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác này, ta có:
$IH \cdot IO = IM \cdot OH$

Như vậy, ta đã chứng minh được:

$IH \cdot IO = IM \cdot OH$

Câu 1: Chứng minh bốn điểm M, A, B, O cùng thuộc một đường tròn.
Ta có đoạn thẳng MA, MB là hai tiếp tuyến từ M đến đường tròn (O; R), vậy ta có MA=MBMA=MB (do tính chất của tiếp tuyến từ một điểm đến đường tròn).

Từ đó, ta có tam giác OMAOMA vuông tại A và tam giác OMBOMB vuông tại B (vì MA, MB là tiếp tuyến tại A và B).

Khi đó, ta có ∠OMA=∠OMB=90∘∠OMA=∠OMB=90∘.

Điều này có nghĩa là đường tròn (O; R) và điểm M tạo thành một góc vuông với các tiếp tuyến tại A và B, nên bốn điểm M, A, B, O nằm trên một đường tròn theo định lý giao tuyến của hai tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn.

Câu 2: Chứng minh MA2=MH⋅MO=MC⋅MDMA2=MH⋅MO=MC⋅MD.
Ta có MA=MBMA=MB là tiếp tuyến từ M, và ta cũng biết rằng OM cắt AB tại H và cắt đường tròn tại I. Sử dụng tính chất tiếp tuyến và định lý secant-tangent (định lý tiếp tuyến – tiếp tuyến), ta có:

MA2=MH⋅MOMA2=MH⋅MO

Vì đoạn thẳng MD cắt đường tròn tại C khác D, ta cũng có:

MC⋅MD=MH⋅MOMC⋅MD=MH⋅MO

Như vậy, ta đã chứng minh được:

MA2=MH⋅MO=MC⋅MDMA2=MH⋅MO=MC⋅MD

Câu 3: Chứng minh IH⋅IO=IM⋅OHIH⋅IO=IM⋅OH.
Vì I là điểm giao của OM với đường tròn, ta có:

∠OIH=∠OHM=90∘∠OIH=∠OHM=90∘ (do OM là đường kính của đường tròn).
Do đó, tam giác OIH vuông tại H, và áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác này, ta có:
IH⋅IO=IM⋅OHIH⋅IO=IM⋅OH

Như vậy, ta đã chứng minh được:

IH⋅IO=IM⋅OH