Ta kiểm tra với \( n = 4 \):

\[
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
\]
\[
2^4 = 16
\]

Rõ ràng là \( 4! = 24 > 16 = 2^4 \).

Vậy, \( n! > 2^n \) đúng với \( n = 4 \).

Giả sử \( n! > 2^n \) đúng với một số \( n = k \), tức là:

\[
k! > 2^k
\]
với \( k \geq 4 \).

Ta cần chứng minh rằng \( (k+1)! > 2^{k+1} \). Từ công thức tính giai thừa, ta có:

\[
(k+1)! = (k+1) \times k!
\]

Theo giả thiết quy nạp \( k! > 2^k \), ta có:

\[
(k+1)! = (k+1) \times k! > (k+1) \times 2^k
\]

Bây giờ, ta sẽ so sánh \( (k+1) \times 2^k \) với \( 2^{k+1} \):

\[
(k+1) \times 2^k = 2^k \times (k+1)
\]
\[
2^{k+1} = 2 \times 2^k
\]

Để chứng minh \( (k+1) \times 2^k > 2^{k+1} \), ta cần chứng minh rằng:

\[
k+1 > 2
\]

Điều này là đúng vì \( k \geq 4 \), do đó \( k+1 \geq 5 \) và chắc chắn \( k+1 > 2 \).

Vậy, ta có:

\[
(k+1)! > 2^{k+1}
\]

Vì \( n = 4 \) là đúng (bước cơ sở), và từ giả thiết quy nạp ta đã chứng minh được rằng nếu \( n! > 2^n \) đúng với \( n = k \), thì \( (k+1)! > 2^{k+1} \) cũng đúng.

Vậy, theo nguyên lý quy nạp, \( n! > 2^n \) đối với mọi \( n \geq 4 \).

Ta đã chứng minh thành công rằng \( n! > 2^n \) với \( n \in \mathbb{N} \) và \( n \geq 4 \).