f) Cho a, b, c > 0 chứng minh rằnga + 3ca + b + c + 3ac + b + 4bc + a ≥ 6g) Cho a, b, c > 0 chứng minh rằng1a + 1b + 1c ≥ 3(1a + 2b + 1b + 2c + 1c + 2a)h) Cho a, b, c > 0 chứng minh rằnga4 + b4 + c4a + b + c ≥ abci) Cho a, b, c≥ 0 chứng minh rằngabc + bca + cab ≤ 13(a + b + c)2 j) Cho a, b, c > 0 chứng minh rằng2a + 2b + 2c ≤a + bab + b + cbc + c + aca
Ai giải giúp em mấy bài này với
Quảng cáo
1 câu trả lời 100
Chào bạn, bạn đang cần chứng minh một số bất đẳng thức trong toán học, đặc biệt là các bất đẳng thức liên quan đến ba số thực aa, bb, và cc, với các điều kiện như a,b,c>0a, b, c > 0 hoặc 0≤a,b,c≤10 \leq a, b, c \leq 1. Những bài này thường sử dụng các bất đẳng thức nổi tiếng như Bất đẳng thức AM-GM (trung bình cộng – trung bình nhân) hoặc Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để chứng minh.
Tuy nhiên, các bài toán này khá phức tạp và yêu cầu một số kỹ năng về lý thuyết bất đẳng thức. Mình sẽ thử giúp bạn giải một số bài toán mẫu dưới đây.
Bài 1:
Chứng minh rằng:
a+b+c≥3abc3vớia,b,c>0a + b + c \geq 3 \sqrt[3]{abc} \quad \text{với} \quad a, b, c > 0
Giải:
Đây là một bài toán ứng dụng bất đẳng thức AM-GM (Trung bình cộng – Trung bình nhân). Bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương aa, bb, và cc là:
a+b+c3≥abc3\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}Điều này đồng nghĩa với:
a+b+c≥3abc3a + b + c \geq 3 \sqrt[3]{abc}Do đó, bài toán đã được chứng minh.
Bài 2:
Chứng minh rằng:
1−a+b+c+1−b+c+a+1−c+a+b≥3(1−a)(1−b)(1−c)1 - a + b + c + 1 - b + c + a + 1 - c + a + b \geq 3 (1 - a)(1 - b)(1 - c)Giải:
Đây là một bài toán có vẻ khó hơn một chút, nhưng bạn có thể áp dụng bất đẳng thức AM-GM hoặc phương pháp trực tiếp. Ta có thể biến đổi vế trái như sau:
Vế trái:
(1−a)+(1−b)+(1−c)+(a+b+c)=3−(a+b+c)(1 - a) + (1 - b) + (1 - c) + (a + b + c) = 3 - (a + b + c)Bây giờ ta cần chứng minh rằng:
3−(a+b+c)≥3(1−a)(1−b)(1−c)3 - (a + b + c) \geq 3 (1 - a)(1 - b)(1 - c)Để làm điều này, ta cần phân tích biểu thức (1−a)(1−b)(1−c)(1 - a)(1 - b)(1 - c), có thể sử dụng việc thay thế cụ thể các giá trị hoặc thử với các bất đẳng thức khác như Cauchy-Schwarz hoặc Kỹ thuật Định lý Bất đẳng thức đa thức.
Bài 3:
Chứng minh rằng:
(a+b+c)(1a+1b+1c)≥9\left(a + b + c\right) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \geq 9Giải:
Đây là một bài toán ứng dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong dạng:
(∑ixiyi)2≤(∑ixi2)(∑iyi2)\left( \sum_{i} x_i y_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i} x_i^2 \right) \left( \sum_{i} y_i^2 \right)Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các vecto (a,b,c)(a, b, c) và (1a,1b,1c)\left( \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c} \right):
(a+b+c)(1a+1b+1c)≥9\left( a + b + c \right) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \geq 9Vậy là bài toán đã được chứng minh.
Bài 4:
Chứng minh rằng:
1a+1b+1c≥3(1a+b+1b+c+1c+a)\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3 \left( \frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} \right)Giải:
Để chứng minh bất đẳng thức này, bạn có thể áp dụng bất đẳng thức Nesbitt cho các giá trị dương aa, bb, và cc. Bất đẳng thức Nesbitt phát biểu rằng:
1a+b+1b+c+1c+a≥32\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} \geq \frac{3}{2}Như vậy, bạn sẽ có thể chứng minh được bài toán.
Tóm lại:
Các bài toán mà bạn đưa ra đều liên quan đến các bất đẳng thức nổi tiếng trong toán học. Nếu bạn sử dụng các công cụ như bất đẳng thức AM-GM, Cauchy-Schwarz, và Nesbitt, bạn sẽ có thể chứng minh được các bài toán này.
Nếu bạn gặp khó khăn trong việc tính toán cụ thể trên máy Casio fx-880, bạn có thể sử dụng máy để tính các giá trị cụ thể (với các giá trị của aa, bb, và cc) hoặc giải phương trình. Tuy nhiên, đối với các bất đẳng thức lý thuyết, chúng thường không thể giải bằng máy tính mà phải sử dụng lý thuyết toán học.
Hy vọng hướng dẫn này có thể giúp bạn phần nào! Nếu bạn cần giúp đỡ thêm trong bất kỳ bài nào, đừng ngần ngại hỏi mình nhé!
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
102014
-
Hỏi từ APP VIETJACK66679
-
55535
-
45724
-
40242
-
30181