Cho 1 đa giác đều 7 cạnh. Mỗi đỉnh của nó được tô bởi 1 trong 2 màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại 3 đỉnh là các đỉnh của tam giác cân và được tô cùng màu. Nêu thay đa giác đều 7 cạnh bằng 1 đa giác đều có số canh lẻ thì bài toán còn đúng không?
Quảng cáo
1 câu trả lời 173
Để chứng minh rằng trong một đa giác đều 7 cạnh, tồn tại 3 đỉnh là các đỉnh của tam giác cân và được tô cùng màu, ta có thể áp dụng nguyên lý Dirichlet (hay còn gọi là nguyên lý ngăn kéo).
### Bước 1: Xác định các đỉnh
Đa giác đều 7 cạnh có 7 đỉnh, gọi các đỉnh này là .
### Bước 2: Các cách tô màu
Mỗi đỉnh có thể được tô màu xanh hoặc đỏ. Vì có 7 đỉnh, tổng số cách tô màu là cách.
### Bước 3: Các tam giác cân
Để tồn tại tam giác cân, ta cần có 3 đỉnh sao cho khoảng cách giữa 2 đỉnh bất kỳ (đỉnh này với đỉnh kia) là bằng nhau. Trong một đa giác đều 7 cạnh, các cặp đỉnh có thể tạo thành tam giác cân như sau:
- Tam giác cân có 2 đỉnh cách đều nhau từ một đỉnh. Ví dụ, nếu ta chọn đỉnh , ta có thể có các cặp:
-
-
-
-
- ...
Tương tự, ta có thể kiểm tra các cặp khác với các đỉnh khác.
### Bước 4: Sử dụng nguyên lý Dirichlet
Có 7 đỉnh, và nếu mỗi đỉnh được tô màu xanh hoặc đỏ, thì ta có thể tạo thành các nhóm dựa trên màu sắc. Theo nguyên lý Dirichlet, nếu có 7 đỉnh, với mỗi đỉnh được tô một trong hai màu, thì ít nhất một trong các màu sẽ được tô ít nhất 4 lần.
- Giả sử không có 3 đỉnh nào cùng màu trong một tam giác cân, thì trong mỗi nhóm 3 đỉnh (được sử dụng để tạo tam giác cân), sẽ có ít nhất một màu khác nhau. Điều này sẽ dẫn đến sự mâu thuẫn khi có ít nhất 4 đỉnh cùng màu, do đó không thể thoả mãn điều kiện không có 3 đỉnh nào cùng màu trong tam giác cân.
### Kết luận
Vì vậy, từ 7 đỉnh, ít nhất sẽ tồn tại một tam giác cân có 3 đỉnh cùng màu.
### Trường hợp đa giác đều có số cạnh lẻ khác
Nếu ta thay đổi đa giác đều 7 cạnh bằng một đa giác đều khác có số cạnh lẻ (ví dụ: 5 cạnh hoặc 9 cạnh), bài toán vẫn đúng. Nguyên lý Dirichlet vẫn có thể được áp dụng với số đỉnh tương tự, dẫn đến việc vẫn tồn tại ít nhất 3 đỉnh tạo thành một tam giác cân có cùng màu trong trường hợp này.
### Kết luận cuối cùng
Vì vậy, bài toán vẫn đúng với các đa giác đều có số cạnh lẻ, không chỉ giới hạn ở 7 cạnh.
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
102042
-
Hỏi từ APP VIETJACK66834
-
55572
-
45855
-
40424
-
30538