Để giải phương trình \( \cos x = \tan 2x \), trước tiên ta biểu diễn \(\tan 2x\) bằng các hàm \(\sin\) và \(\cos\):

\[
\tan 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x - \sin^2 x}
\]

Phương trình trở thành:

\[
\cos x = \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x - \sin^2 x}
\]

Để loại bỏ mẫu số, ta nhân cả hai bên với \(\cos^2 x - \sin^2 x\) (giả sử \(\cos^2 x - \sin^2 x \neq 0\)):

\[
\cos x (\cos^2 x - \sin^2 x) = 2 \sin x \cos x
\]

Giản lược biểu thức:

\[
\cos^3 x - \cos x \sin^2 x = 2 \sin x \cos x
\]

Rearranging gives:

\[
\cos^3 x - \cos x \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 0
\]

Factoring ra \(\cos x\):

\[
\cos x \left(\cos^2 x - \sin^2 x - 2 \sin x\right) = 0
\]

Ta có hai trường hợp cần giải:

### Trường hợp 1: \( \cos x = 0 \)

Giải phương trình \( \cos x = 0 \):

\[
x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]

### Trường hợp 2: \( \cos^2 x - \sin^2 x - 2 \sin x = 0 \)

Biểu diễn \(\sin^2 x\) theo \(\cos^2 x\):

\[
\cos^2 x - (1 - \cos^2 x) - 2\sqrt{1 - \cos^2 x} = 0
\]

Đặt \(u = \cos^2 x\), khi đó \(\sin^2 x = 1 - u\) và phương trình trở thành:

\[
u - (1 - u) - 2\sqrt{1 - u} = 0
\]
\[
2u - 1 - 2\sqrt{1 - u} = 0
\]
\[
2u - 1 = 2\sqrt{1 - u}
\]

Bình phương cả hai bên:

\[
(2u - 1)^2 = 4(1 - u)
\]

Mở rộng và giản lược:

\[
4u^2 - 4u + 1 = 4 - 4u
\]
\[
4u^2 = 3
\]
\[
u^2 = \frac{3}{4}
\]
\[
u = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Vì \(u = \cos^2 x\), ta bỏ giá trị âm:

\[
\cos^2 x = \frac{3}{4} \implies \cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Vậy các giá trị \(x\) thỏa mãn \(\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) và \(\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) là:

\[
x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{và} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
\[
x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{và} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]

### Tóm tắt các nghiệm
Các nghiệm của phương trình \( \cos x = \tan 2x \) là:
1. \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)
2. \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)
3. \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)
4. \( x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)
5. \( x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)