Để tính tổng của dãy số \( 1.2 + 3.4 + 5.6 + \ldots + 99.100 \), chúng ta có thể nhận thấy rằng mỗi số hạng trong dãy có dạng \( n(n+1) \), với \( n \) là các số lẻ từ 1 đến 99.

Số hạng thứ \( k \) trong dãy là \( (2k-1)(2k) \), với \( k \) chạy từ 1 đến 50 (vì số lẻ từ 1 đến 99 có tổng cộng 50 số). Do đó, tổng có thể được viết lại như sau:

\[
\sum_{k=1}^{50} (2k-1)(2k) = \sum_{k=1}^{50} (4k^2 - 2k)
\]

Chúng ta có thể tách tổng này thành hai phần:

\[
\sum_{k=1}^{50} (4k^2 - 2k) = 4 \sum_{k=1}^{50} k^2 - 2 \sum_{k=1}^{50} k
\]

Bây giờ, chúng ta sử dụng công thức tổng cho \( \sum_{k=1}^{n} k \) và \( \sum_{k=1}^{n} k^2 \):

- \( \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \)
- \( \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)

Với \( n = 50 \):

1. Tính \( \sum_{k=1}^{50} k \):

\[
\sum_{k=1}^{50} k = \frac{50 \times 51}{2} = 1275
\]

2. Tính \( \sum_{k=1}^{50} k^2 \):

\[
\sum_{k=1}^{50} k^2 = \frac{50 \times 51 \times 101}{6} = \frac{257550}{6} = 42925
\]

Giờ chúng ta thay thế vào biểu thức:

\[
4 \sum_{k=1}^{50} k^2 - 2 \sum_{k=1}^{50} k = 4 \times 42925 - 2 \times 1275
\]

Tính từng phần:

\[
4 \times 42925 = 171700
\]
\[
2 \times 1275 = 2550
\]

Cuối cùng, tổng sẽ là:

\[
171700 - 2550 = 169150
\]

Vậy tổng \( 1.2 + 3.4 + 5.6 + \ldots + 99.100 = 169150 \).