tìm x, y sao cho xy là số chính phương, x2 + xy + y2 là số nguyên tố

Hiếu Lê

đã hỏi trong Lớp 9 Toán học

· 21:02 21/08/2024

tìm x, y sao cho xy là số chính phương, x²+ xy + y² là số nguyên tố

Trả Lời (+5 điểm)

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

2 câu trả lời 631

Sang Phạm

1 năm trước

Để tìm các giá trị \(x\) và \(y\) sao cho \(xy\) là số chính phương và \(x^2 + xy + y^2\) là số nguyên tố, chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Xác định Điều Kiện

1. **\(xy\) là số chính phương:**
Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên \(k\) sao cho:
\[
xy = k^2
\]

2. **\(x^2 + xy + y^2\) là số nguyên tố:**
Điều này có nghĩa là \(x^2 + xy + y^2\) phải là một số nguyên tố.

### Bước 2: Kiểm Tra Các Giá Trị Đơn Giản

Để dễ dàng hơn, chúng ta có thể thử các giá trị nhỏ cho \(x\) và \(y\), sau đó kiểm tra điều kiện.

#### Trường hợp 1: \(x = 1\) và \(y = 1\)

- **Tính \(xy\):**
\[
xy = 1 \cdot 1 = 1
\]
\(1\) không phải là số chính phương lớn hơn \(0\) (số chính phương phải là \(k^2\) với \(k \geq 1\)).

#### Trường hợp 2: \(x = 1\) và \(y = 4\)

- **Tính \(xy\):**
\[
xy = 1 \cdot 4 = 4
\]
\(4\) là số chính phương (vì \(4 = 2^2\)).

- **Tính \(x^2 + xy + y^2\):**
\[
x^2 + xy + y^2 = 1^2 + 1 \cdot 4 + 4^2 = 1 + 4 + 16 = 21
\]
\(21\) không phải là số nguyên tố (vì \(21 = 3 \cdot 7\)).

#### Trường hợp 3: \(x = 2\) và \(y = 8\)

- **Tính \(xy\):**
\[
xy = 2 \cdot 8 = 16
\]
\(16\) là số chính phương (vì \(16 = 4^2\)).

- **Tính \(x^2 + xy + y^2\):**
\[
x^2 + xy + y^2 = 2^2 + 2 \cdot 8 + 8^2 = 4 + 16 + 64 = 84
\]
\(84\) không phải là số nguyên tố (vì \(84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7\)).

#### Trường hợp 4: \(x = 3\) và \(y = 12\)

- **Tính \(xy\):**
\[
xy = 3 \cdot 12 = 36
\]
\(36\) là số chính phương (vì \(36 = 6^2\)).

- **Tính \(x^2 + xy + y^2\):**
\[
x^2 + xy + y^2 = 3^2 + 3 \cdot 12 + 12^2 = 9 + 36 + 144 = 189
\]
\(189\) không phải là số nguyên tố (vì \(189 = 3^3 \cdot 7\)).

### Bước 3: Kiểm Tra Các Trường Hợp Khác

Tiếp tục với các giá trị khác của \(x\) và \(y\) hoặc thay đổi phương pháp tìm kiếm.

#### Trường hợp 5: \(x = 2\) và \(y = 2\)

- **Tính \(xy\):**
\[
xy = 2 \cdot 2 = 4
\]
\(4\) là số chính phương.

- **Tính \(x^2 + xy + y^2\):**
\[
x^2 + xy + y^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 + 2^2 = 4 + 4 + 4 = 12
\]
\(12\) không phải là số nguyên tố.

#### Trường hợp 6: \(x = 0\) và \(y = 0\)

- **Tính \(xy\):**
\[
xy = 0 \cdot 0 = 0
\]
\(0\) không phải là số chính phương lớn hơn \(0\).

### Kết Luận

Sau khi thử một số giá trị, không có giá trị nào thỏa mãn cả hai điều kiện: \(xy\) là số chính phương và \(x^2 + xy + y^2\) là số nguyên tố. Tuy nhiên, trong một số trường hợp khác, việc thử nghiệm có thể cần thực hiện một cách hệ thống hơn để đảm bảo có thể tìm được các giá trị \(x\) và \(y\) phù hợp, nếu chúng tồn tại.

...Xem thêm

1 bình luận

xixin · 1 năm trước

dài dữ 0o0

Đăng nhập để hỏi chi tiết

xixin

1 năm trước

Ta có: x² + xy + y² = (x + y)² - xy
Để x² + xy + y² là số nguyên tố thì (x + y)² - xy phải là số nguyên tố.
Do xy là số chính phương nên xy = k² (k là số nguyên)
⇒ x² + xy + y² = (x + y)² - k² = (x + y + k)(x + y - k)
Để x² + xy + y² là số nguyên tố thì một trong hai thừa số (x + y + k) hoặc (x + y - k) phải bằng 1, và thừa số còn lại phải là số nguyên tố.

**TH1:** x + y + k = 1 và x + y - k là số nguyên tố.
⇒ 2k = 1 - (x + y)
⇒ k = (1 - (x + y))/2
Do k là số nguyên nên 1 - (x + y) phải là số chẵn.
⇒ x + y là số lẻ.
⇒ x và y phải có một số chẵn và một số lẻ.

**TH2:** x + y - k = 1 và x + y + k là số nguyên tố.
⇒ 2k = (x + y) - 1
⇒ k = ((x + y) - 1)/2
Do k là số nguyên nên (x + y) - 1 phải là số chẵn.
⇒ x + y là số lẻ.
⇒ x và y phải có một số chẵn và một số lẻ.

**Kết luận:**
Để xy là số chính phương và x² + xy + y² là số nguyên tố thì x và y phải có một số chẵn và một số lẻ. Ngoài ra, một trong hai thừa số (x + y + k) hoặc (x + y - k) phải bằng 1, và thừa số còn lại phải là số nguyên tố.

...Xem thêm

1 bình luận