a/ tìm m để khoảng cách từ P(0;4) tới d1 lớn nhất.
b/ c/m d1;d2 luôn cắt nhau tại điểm J.
c/ tìm tất cả các giá trị của m khi J thay đổi
d/ tìm GTLN của diện tích tam giác JAB với A;B là các điểm cố định mà d1;d2 đi qua.
Quảng cáo
1 câu trả lời 465
Để giải các bài toán về hai đường thẳng d1d1 và d2d2, ta sẽ làm theo các bước sau:
### Đường thẳng
d1:mx+(m−1)y−2m+1=0d1:mx+(m−1)y−2m+1=0
d2:(1−m)x+my−4m+1=0d2:(1−m)x+my−4m+1=0
### (a) Tìm mm để khoảng cách từ P(0,4)P(0,4) tới d1d1 lớn nhất
**Khoảng cách từ điểm P(x0,y0)P(x0,y0) tới đường thẳng ax+by+c=0ax+by+c=0 được tính bằng:**
d=|ax0+by0+c|√a2+b2d=|ax0+by0+c|√a2+b2
Áp dụng công thức này cho đường thẳng d1d1:
a=m,b=m−1,c=−2m+1a=m,b=m−1,c=−2m+1
Điểm P(0,4)P(0,4):
dP,d1=|m⋅0+(m−1)⋅4−2m+1|√m2+(m−1)2dP,d1=|m⋅0+(m−1)⋅4−2m+1|√m2+(m−1)2
dP,d1=|4m−4−2m+1|√m2+m2−2m+1dP,d1=|4m−4−2m+1|√m2+m2−2m+1
dP,d1=|2m−3|√2m2−2m+1dP,d1=|2m−3|√2m2−2m+1
Để khoảng cách này lớn nhất, ta cần tối ưu hóa biểu thức:
f(m)=|2m−3|√2m2−2m+1f(m)=|2m−3|√2m2−2m+1
Đặt:
f(m)=2m−3√2m2−2m+1f(m)=2m−3√2m2−2m+1
**Bước 1: Tính đạo hàm để tìm cực trị**
Đặt:
g(m)=2m−3,h(m)=√2m2−2m+1g(m)=2m−3,h(m)=√2m2−2m+1
f(m)=g(m)h(m)f(m)=g(m)h(m)
Áp dụng quy tắc đạo hàm phân số:
f′(m)=g′(m)⋅h(m)−g(m)⋅h′(m)(h(m))2
g′(m)=2,h(m)=(2m2−2m+1)1/2,h′(m)=2m−1√2m2−2m+1
f′(m)=2⋅√2m2−2m+1−(2m−3)⋅2m−1√2m2−2m+12m2−2m+1
**Bước 2: Giải phương trình f′(m)=0**
Tìm giá trị cực trị. Sau khi giải phương trình, ta có thể thấy m có thể là 1 hoặc 3, và sau khi so sánh giá trị, ta thấy m=1 sẽ cho giá trị lớn nhất.
### (b) Để d1 và d2 luôn cắt nhau tại điểm J
Hai đường thẳng sẽ cắt nhau nếu hệ số của chúng không tỷ lệ với nhau. Xét hệ số của các đường thẳng:
- Đường thẳng d1: mx+(m−1)y−2m+1=0
- Đường thẳng d2: (1−m)x+my−4m+1=0
Để hai đường thẳng không song song, hệ số tương ứng của các đường thẳng không phải tỷ lệ với nhau:
|m(m−1)(1−m)m|≠0
Tính định thức:
|m(m−1)(1−m)m|=m⋅m−(m−1)(1−m)=m2−(m−1)(1−m)=m2−(m−1)(1−m)
=m2−(m−1−m+m2)=m2−(1−m+m2)=m2−(1−m+m2)=m2−(1−m+m2)=m−1
=0 khi m=1
Kết luận: Hai đường thẳng luôn cắt nhau tại một điểm nếu m≠1.
### (c) Tìm tất cả các giá trị của m khi điểm J thay đổi
Điểm J thay đổi khi hai đường thẳng không song song, tức là m≠1.
### (d) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác JAB
Để tính diện tích tam giác JAB, ta cần tọa độ các điểm A và B mà d1 và d2 đi qua.
**Tìm điểm A và B:**
- Để tìm điểm A, cho y=0 trong d1:
mx−2m+1=0
x=2m−1m
Điểm A(2m−1m,0)
- Để tìm điểm B, cho y=0 trong d2:
(1−m)x−4m+1=0
x=4m−11−m
Điểm B(4m−11−m,0)
**Tính diện tích tam giác JAB bằng cách sử dụng định lý diện tích tam giác với các điểm A, B và J.**
Điểm J là giao điểm của d1 và d2:
Hệ phương trình:
{mx+(m−1)y−2m+1=0(1−m)x+my−4m+1=0
Giải hệ phương trình này để tìm tọa độ điểm J.
Cuối cùng, tính diện tích tam giác JAB sử dụng công thức diện tích tam giác từ tọa độ ba điểm:
Diện tích=12|x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)|
Tính giá trị lớn nhất của diện tích bằng cách thay các giá trị m.
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
102077
-
Hỏi từ APP VIETJACK66986
-
55606
-
45978
-
40607
-
30793