Để phân tích đa thức thành nhân tử, chúng ta thực hiện các bước sau:

### 1. Phân tích \((ax + b)^2 - (bx + a)^2\)

Đây là một dạng của hiệu hai bình phương, có thể sử dụng công thức \(A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)\).

- Đặt \(A = (ax + b)\) và \(B = (bx + a)\).
- Áp dụng công thức hiệu hai bình phương:

\[
(ax + b)^2 - (bx + a)^2 = [(ax + b) - (bx + a)][(ax + b) + (bx + a)]
\]

- Tính \( (ax + b) - (bx + a) \):

\[
(ax + b) - (bx + a) = ax + b - bx - a = (a - b)x + (b - a)
\]

- Tính \( (ax + b) + (bx + a) \):

\[
(ax + b) + (bx + a) = ax + b + bx + a = (a + b)x + (b + a)
\]

- Do đó:

\[
(ax + b)^2 - (bx + a)^2 = [(a - b)x + (b - a)][(a + b)x + (b + a)]
\]

### 2. Phân tích \(x^3 + 4x^2 - 8x - 8\)

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nhóm để phân tích:

- Nhóm các hạng tử:

\[
x^3 + 4x^2 - 8x - 8 = (x^3 + 4x^2) + (-8x - 8)
\]

- Yếu tố chung trong nhóm đầu tiên là \(x^2\), trong nhóm thứ hai là \(-8\):

\[
(x^3 + 4x^2) = x^2(x + 4)
\]
\[
(-8x - 8) = -8(x + 1)
\]

- Thay vào:

\[
x^3 + 4x^2 - 8x - 8 = x^2(x + 4) - 8(x + 1)
\]

- Tìm yếu tố chung \((x + 4)\):

\[
x^2(x + 4) - 8(x + 1) = (x + 4)(x^2 - 8)
\]

- Phân tích \(x^2 - 8\) thành hai bình phương:

\[
x^2 - 8 = x^2 - 4 \cdot 2 = (x - \sqrt{8})(x + \sqrt{8})
\]

- Do đó:

\[
x^3 + 4x^2 - 8x - 8 = (x + 4)(x - \sqrt{8})(x + \sqrt{8})
\]

### 3. Phân tích \((x^2 + 2xy + y^2) + (2x + 2y) + 1\)

- Ghi chú:

\[
x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2
\]

- Thay vào:

\[
(x^2 + 2xy + y^2) + (2x + 2y) + 1 = (x + y)^2 + 2x + 2y + 1
\]

- Thay \(2x + 2y\) thành \(2(x + y)\):

\[
(x + y)^2 + 2(x + y) + 1
\]

- Đặt \(z = x + y\):

\[
z^2 + 2z + 1
\]

- Đây là một bình phương hoàn hảo:

\[
z^2 + 2z + 1 = (z + 1)^2
\]

- Thay lại \(z = x + y\):

\[
(x + y + 1)^2
\]

### Tóm tắt

1. \((ax + b)^2 - (bx + a)^2 = [(a - b)x + (b - a)][(a + b)x + (b + a)]\)
2. \(x^3 + 4x^2 - 8x - 8 = (x + 4)(x^2 - 8)\) (hoặc tiếp tục phân tích \(x^2 - 8\))
3. \((x^2 + 2xy + y^2) + (2x + 2y) + 1 = (x + y + 1)^2\)

Đây là một dạng của hiệu hai bình phương, có thể sử dụng công thức A2−B2=(A−B)(A+B)A2−B2=(A−B)(A+B).

- Đặt A=(ax+b)A=(ax+b) và B=(bx+a)B=(bx+a).
- Áp dụng công thức hiệu hai bình phương:

(ax+b)2−(bx+a)2=[(ax+b)−(bx+a)][(ax+b)+(bx+a)](ax+b)2−(bx+a)2=[(ax+b)−(bx+a)][(ax+b)+(bx+a)]

- Tính (ax+b)−(bx+a)(ax+b)−(bx+a):

(ax+b)−(bx+a)=ax+b−bx−a=(a−b)x+(b−a)(ax+b)−(bx+a)=ax+b−bx−a=(a−b)x+(b−a)

- Tính (ax+b)+(bx+a)(ax+b)+(bx+a):

(ax+b)+(bx+a)=ax+b+bx+a=(a+b)x+(b+a)(ax+b)+(bx+a)=ax+b+bx+a=(a+b)x+(b+a)

- Do đó:

(ax+b)2−(bx+a)2=[(a−b)x+(b−a)][(a+b)x+(b+a)](ax+b)2−(bx+a)2=[(a−b)x+(b−a)][(a+b)x+(b+a)]

### 2. Phân tích x3+4x2−8x−8x3+4x2−8x−8

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nhóm để phân tích:

- Nhóm các hạng tử:

x3+4x2−8x−8=(x3+4x2)+(−8x−8)x3+4x2−8x−8=(x3+4x2)+(−8x−8)

- Yếu tố chung trong nhóm đầu tiên là x2x2, trong nhóm thứ hai là −8−8:

(x3+4x2)=x2(x+4)(x3+4x2)=x2(x+4)
(−8x−8)=−8(x+1)(−8x−8)=−8(x+1)

- Thay vào:

x3+4x2−8x−8=x2(x+4)−8(x+1)x3+4x2−8x−8=x2(x+4)−8(x+1)

- Tìm yếu tố chung (x+4)(x+4):

x2(x+4)−8(x+1)=(x+4)(x2−8)x2(x+4)−8(x+1)=(x+4)(x2−8)

- Phân tích x2−8x2−8 thành hai bình phương:

x2−8=x2−4⋅2=(x−√8)(x+√8)x2−8=x2−4⋅2=(x−8)(x+8)

- Do đó:

x3+4x2−8x−8=(x+4)(x−√8)(x+√8)x3+4x2−8x−8=(x+4)(x−8)(x+8)

### 3. Phân tích (x2+2xy+y2)+(2x+2y)+1(x2+2xy+y2)+(2x+2y)+1

- Ghi chú:

x2+2xy+y2=(x+y)2x2+2xy+y2=(x+y)2

- Thay vào:

(x2+2xy+y2)+(2x+2y)+1=(x+y)2+2x+2y+1(x2+2xy+y2)+(2x+2y)+1=(x+y)2+2x+2y+1

- Thay 2x+2y2x+2y thành 2(x+y)2(x+y):

(x+y)2+2(x+y)+1(x+y)2+2(x+y)+1

- Đặt z=x+yz=x+y:

z2+2z+1z2+2z+1

- Đây là một bình phương hoàn hảo:

z2+2z+1=(z+1)2z2+2z+1=(z+1)2

- Thay lại z=x+yz=x+y:

(x+y+1)2(x+y+1)2

### Tóm tắt

1. (ax+b)2−(bx+a)2=[(a−b)x+(b−a)][(a+b)x+(b+a)](ax+b)2−(bx+a)2=[(a−b)x+(b−a)][(a+b)x+(b+a)]
2. x3+4x2−8x−8=(x+4)(x2−8)x3+4x2−8x−8=(x+4)(x2−8) (hoặc tiếp tục phân tích x2−8x2−8)
3. (x2+2xy+y2)+(2x+2y)+1=(x+y+1)2