Để giải phương trình \( x(x+3)^3 - \frac{x}{4}(x+3) = 0 \), chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Nhóm và đơn giản hóa phương trình**:

Đầu tiên, hãy nhóm các hạng tử có chứa \( x \) và \( (x+3) \):

\[
x(x+3)^3 - \frac{x}{4}(x+3) = 0
\]

Để dễ dàng xử lý, chúng ta có thể đưa về cùng cơ số \( (x+3) \) bằng cách phân tích và làm đơn giản hóa.

2. **Nhân và chia chung**:

Tách \( x(x+3) \) ra ngoài để làm rõ biểu thức:

\[
x(x+3)\left[(x+3)^2 - \frac{1}{4}\right] = 0
\]

Bây giờ, hãy phân tích biểu thức trong ngoặc vuông:

\[
(x+3)^2 - \frac{1}{4}
\]

Sử dụng công thức bình phương của một số:

\[
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
\]

Trong trường hợp này, \( a = (x+3) \) và \( b = \frac{1}{2} \):

\[
(x+3)^2 - \frac{1}{4} = \left[(x+3) - \frac{1}{2}\right]\left[(x+3) + \frac{1}{2}\right]
\]

Tính toán các yếu tố:

\[
(x+3) - \frac{1}{2} = x + \frac{5}{2}
\]

\[
(x+3) + \frac{1}{2} = x + \frac{7}{2}
\]

Do đó:

\[
(x+3)^2 - \frac{1}{4} = \left(x + \frac{5}{2}\right)\left(x + \frac{7}{2}\right)
\]

3. **Kết hợp lại phương trình**:

Vậy phương trình có thể viết lại là:

\[
x(x+3)\left(x + \frac{5}{2}\right)\left(x + \frac{7}{2}\right) = 0
\]

Phương trình sẽ bằng 0 khi một trong các yếu tố bằng 0:

\[
x = 0
\]

\[
x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3
\]

\[
x + \frac{5}{2} = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{2}
\]

\[
x + \frac{7}{2} = 0 \Rightarrow x = -\frac{7}{2}
\]

4. **Kết luận**:

Các nghiệm của phương trình là:

\[
x = 0, \quad x = -3, \quad x = -\frac{5}{2}, \quad x = -\frac{7}{2}
\]

Đây là các giá trị của \( x \) thỏa mãn phương trình \( x(x+3)^3 - \frac{x}{4}(x+3) = 0 \).

Để giải phương trình

\[
x(x + 3)^3 - \frac{x}{4}(x + 3) = 0,
\]

ta sẽ bắt đầu bằng cách nhân tất cả các thành phần với \(4\) để loại bỏ mẫu số:

\[
4x(x + 3)^3 - x(x + 3) = 0.
\]

Bây giờ, ta rút \(x(x + 3)\) ra ngoài:

\[
x(x + 3) \left( 4(x + 3)^2 - 1 \right) = 0.
\]

Khi rút ra, ta có hai hệ phương trình cần giải:

1. \(x(x + 3) = 0\)
2. \(4(x + 3)^2 - 1 = 0\)

### Giải phương trình 1:
\[
x(x + 3) = 0
\]
Từ đó, ta có hai nghiệm:
\[
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 3 = 0 \implies x = -3.
\]

### Giải phương trình 2:
\[
4(x + 3)^2 - 1 = 0
\]
\[
4(x + 3)^2 = 1
\]
\[
(x + 3)^2 = \frac{1}{4}
\]
\[
x + 3 = \frac{1}{2} \quad \text{hoặc} \quad x + 3 = -\frac{1}{2}.
\]
Giải từng trường hợp:
1. \(x + 3 = \frac{1}{2} \implies x = \frac{1}{2} - 3 = -\frac{5}{2}.\)
2. \(x + 3 = -\frac{1}{2} \implies x = -\frac{1}{2} - 3 = -\frac{7}{2}.\)

### Kết luận
Tập nghiệm của phương trình là:
\[
x = 0, \quad x = -3, \quad x = -\frac{5}{2}, \quad x = -\frac{7}{2}.
\]

Vậy, nghiệm của phương trình là:
\[
\boxed{0, -3, -\frac{5}{2}, -\frac{7}{2}}.
\]